¿Qué representa la tolerancia al riesgo para la optimización de la utilidad con restricciones lineales?

Question

Referenciando Wei Jiao (2003) p. 8, fórmula (1.12), para $Ax = b$ conjunto de restricciones lineales en una cartera, la solución para los pesos óptimos para maximizar la utilidad es: $$w^* = \Sigma^{-1}A^T \left( A \Sigma^{-1} A^T \right)^{-1}b + \lambda \Sigma^{-1} \left( \mu-A^T \left( A \Sigma^{-1} A^T \right) A \Sigma^{-1} \mu\right)$$

Basado en un pregunta similar , $\lambda$ podría eliminarse dividiendo por la suma del numerador, es decir, dividiendo el segundo componente de $w^*$ por la suma del componente. ¿Es ésta la forma correcta de eliminar la variable de aversión al riesgo?

Answer 1

No se puede eliminar la dependencia de una solución del parámetro de aversión al riesgo (que este autor llama confusamente $\lambda$ ).

¿Quizás una fuente de confusión?

• Normalmente $\lambda$ se utiliza para denotar un multiplicador de Lagrange en la optimización lagrangiana, pero el autor utiliza $\lambda$ como parámetro de tolerancia al riesgo. (En su otra pregunta vinculada, $\lambda$ denota un multiplicador de Lagrange).

El autor utiliza un $m \times 1$ vector $\boldsymbol{\gamma}$ como los multiplicadores de Lagrange y el escalar $\lambda$ como parámetro de tolerancia al riesgo para la especificación de la utilidad $u(\mathbf{w}) = \mu_p - \frac{1}{2 \lambda} \sigma^2_p$ donde $\mu_p$ es la rentabilidad esperada de la cartera dadas las ponderaciones de la misma $\mathbf{w}$ y $\sigma^2_p$ es la varianza de la rentabilidad de la cartera.

Para una solución de formas cerradas del problema de optimización, el objetivo del autor es encontrar una expresión para la solución que no utilice los multiplicadores. En este caso, eso significa eliminar $\boldsymbol{\gamma}$ (lo cual hace). En su otro enlace, $\lambda$ se utiliza de forma típica como multiplicador de Lagrange por lo que una solución de forma cerrada elimina $\lambda$ .

El problema de optimización, por cierto, es: \begin{equation} \begin{array}{*2{>{\displaystyle}r}} \mbox{maximize (over $\mathbf{w}$)} & \boldsymbol{\mu}'\mathbf{w} - \frac{1}{2 \lambda} \mathbf{w}'\Sigma \mathbf{w} \\ \mbox{subject to} & A \mathbf{w} = \mathbf{b} \end{array} \end{equation}

La solución $\mathbf{w}^*$ será una función de los rendimientos esperados $\boldsymbol{\mu}$ , matriz de covarianza $\Sigma$ y la tolerancia al riesgo $\lambda$ .

Este es un problema sencillo y bastante estándar, y sin duda puedes encontrar a otras personas resolviéndolo por todo Internet.

Motivación del objetivo $\boldsymbol{\mu}'\mathbf{w} - \frac{1}{2 \lambda} \mathbf{w}'\Sigma \mathbf{w}$

Supongamos que las preferencias de los agentes sobre varias loterías pueden representarse mediante

• Maximizar utilidad esperada $\mathbb{E}[u(X)]$
• Utilizando el aversión al riesgo absoluto constante Función de utilidad Bernoulli $u(x) = -e^{-ax}$ .

Dejemos que $X$ sea alguna lotería que se distribuya normalmente con media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ . $$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$$

Puede demostrar que esta lotería $X$ tiene un valor equivalente de certeza para nuestro agente dado por: $$ c(X) = \mu - \frac{1}{2}a\sigma^2 $$ (Comenzar con $\mathbb{E}[-e^{-aX}] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{- \infty}^{\infty}-e^{-ax-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}$ y utilizar las sumas normales de pdf a 1 para encontrar el equivalente de certeza).

Aquí, $a$ es el coeficiente Arrow-Pratt de aversión al riesgo absoluto. También se puede definir la tolerancia al riesgo $\tau = \frac{1}{a}$ . Escribir el equivalente de certeza con tolerancia al riesgo:

$$ c(X) = \mu - \frac{1}{2\tau}\sigma^2 $$

La maximización de la utilidad esperada con aversión al riesgo CARA sobre una lotería normalmente distribuida es equivalente a la maximización del equivalente de certeza dado anteriormente. Es una especificación agradable y conveniente que hace que las matemáticas sean fáciles de trabajar.

Por supuesto, se pueden señalar todo tipo de deficiencias que motivarían especificaciones más ricas:

• Los rendimientos de la cartera covierten con otras variables que preocupan a los agentes.
• Los rendimientos no se distribuyen normalmente
• El CARA tiene problemas: ¿asegurarías el riesgo de un siniestro de 1.000 de la misma manera si tu patrimonio fuera de 2.000 que si fuera de 2.000.000? Probablemente no.