¿Derivación de la cartera de tangencia (máximo ratio de Sharpe) en la teoría de carteras de Markowitz?

Question

He visto la siguiente fórmula para la cartera de tangencia en la teoría de la cartera de Markowitz, pero no pude encontrar una referencia para la derivación, y no pude derivar yo mismo. Si el exceso de rendimiento esperado de $N$ valores es el vector $\mu$ y la covarianza de los rendimientos es $\Sigma$ , entonces la cartera tangente (cartera de máximo ratio de Sharpe) es:

$$\begin{equation} w^* = (\iota \Sigma^{-1} \mu)^{-1} \Sigma^{-1} \mu \end{equation}$$

Dónde $\iota$ es un vector de unos. ¿Alguien conoce una fuente de la derivación?

Answer 1

El problema de la media-varianza sin restricciones $$w_{mv,unc}\equiv argmax\left\{ w'\mu-\frac{1}{2}\lambda w'\Sigma w\right\}$$ se puede encontrar fácilmente tomando la derivada $$\frac{\partial}{\partial w}\left(w'\mu-\frac{1}{2}\lambda w'\Sigma w\right)=\mu-\lambda\Sigma w$$ poniéndolo a cero, y resolviendo para $w$ . Esto da $$w_{mv,unc}\equiv\frac{1}{\lambda}\Sigma^{-1}\mu$$ Para hallar la cartera que limita la suma de todas las ponderaciones a $1$ es tan sencillo como dividir por la suma de las ponderaciones de la cartera $$w_{mv,c}\equiv\frac{w_{mv,unc}}{1'w_{mv,unc}}=\frac{\Sigma^{-1}\mu}{1'\Sigma^{-1}\mu}$$ que después de cancelar las variables de aversión al riesgo da lo que tienes arriba.

Para restricciones más generales, como $Aw=b$ La fórmula es más compleja. A menudo me refiero a la derivación en este papel para la fórmula.

Answer 2

Consulta el siguiente enlace. En la página 23 encontrarás la derivación. http://faculty.washington.edu/ezivot/econ424/portfolioTheoryMatrix.pdf

Answer 3

Merton, Robert, 1972, An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier, Journal of Financial and Quantitative Analysis