Si uno gasta siempre la misma cantidad, ¿cuál es su elasticidad precio de la demanda?

Question

Fuente: p 109, pregunta 5.9, Principios de microeconomía , 7 Ed, 2014, por N Gregory Mankiw
\= Pregunta 5.7, Principios de microeconomía , 4 Ed, 2008, por N Gregory Mankiw

9. $\color{green } { \text { Before looking at the price,} }$ Jessie gasta $d$ dólares en algo (abreviar esta S). ¿Cuál es la elasticidad del precio de Jessie elasticidad de la demanda?

Respuesta dada: La elasticidad precio de la demanda de Jessie es uno, porque gasta la misma cantidad en S, sin importar el precio. no importa el precio, lo que significa que $\color{darkred} { \text { his percentage change in quantity } }$ es igual al porcentaje de cambio en el precio.

De la página 91: Elasticidad del precio de la demanda $= \dfrac{ \text{ Percentage change in quantity demanded }} { \text{ Percentage change in price } } $

El verde implica la ignorancia de Jessie sobre los precios, por lo que el % de cambio en el precio = 0. Sin embargo, por favor, explique la respuesta? Especialmente el rojo, porque la pregunta no implica nada sobre el % de cambio en la cantidad demandada?

Nota: He generalizado ligeramente la pregunta. Mankiw escribe 'gas' en lugar de ' algo '.

Answer 1

La intuición es que si Jessie gasta la misma cantidad en $S$ sin importar el precio $p$ Entonces, un cambio de precio en un % reducirá la demanda en el mismo %. Lo que puede confundirte es que la fórmula que te dan es una aproximación a la verdadera elasticidad precio de la demanda dada por \begin{align} \eta=\frac{dS\Big/ S}{dp\Big/ p} \end{align} donde $d$ es el operador de la derivada. La aproximación \begin{align} \frac{\%\Delta S}{\% \Delta p} \end{align} sólo funciona para cambios muy pequeños en $p$ y $S$ . Para ver por qué la elasticidad de la demanda es $\mid 1 \mid$ , dejemos que $b$ sea la cantidad fija gastada en $S$ . Entonces la cantidad demandada $S$ viene dada por \begin{align} S=\frac{b}{p} \end{align}

Supongamos que existe un pequeño cambio de precio de $p$ a $p+\epsilon, \, \epsilon>0$ . Entonces podemos definir $S_1=\frac{b}{p}$ como la demanda antes del cambio de precio y $S_2=\frac{b}{p+\epsilon}$ como la demanda después de la modificación del precio. De este modo, vemos que \begin{align} \frac{S_2\Big/ S_1 -1}{\frac{p+\epsilon}{p}-1} = \frac{\frac{b}{p+\epsilon}\Big/\frac{b}{p}-1}{\frac{p+\epsilon}{p}-1}=\frac{\frac{-\epsilon}{p+\epsilon}}{\frac{e}{p}}=-\frac{p}{p+\epsilon}\approx -1 \end{align} cuando $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño.

Answer 2

La elasticidad del arco es la que funcionará utilizando la fórmula del porcentaje (ver también este post)

$$\eta_{arc} = \frac {q_b-q_a}{q_b+q_a}\cdot \frac{p_b+p_a}{p_b-p_a} \tag{1}$$

La cantidad demandada es $$S = E/p$$

donde $E$ es el gasto total.

Supongamos que el precio aumenta de $p_a$ a $p_b = (1+c)p_a$ , donde $c$ es no "pequeño". El segundo cociente de la fórmula de la elasticidad del arco es

$$\frac{p_b+p_a}{p_b-p_a} = \frac{(1+c)p_a+p_a}{(1+c)p_a-p_a} = \frac {2+c}{c} \tag{2}$$

El gasto total se mantiene igual, por supuesto. Por lo tanto, para el cociente de las cantidades tenemos

$$q_b-q_a = \frac {E}{(1+c)p_a} - \frac {E}{p_a} = \frac {E - (1+c)E}{(1+c)p_a} = \frac {-c}{1+c}\cdot \frac {E}{p} \tag{3} $$

y

$$q_b+q_a = \frac {E}{(1+c)p_a} + \frac {E}{p_a} = \frac {E + (1+c)E}{(1+c)p_a} = \frac {2+c}{1+c}\cdot \frac {E}{p} \tag{4} $$

Así que

$$\frac {q_b-q_a}{q_b+q_a} = \frac{\frac {-c}{1+c}\cdot \frac {E}{p}}{\frac {2+c}{1+c}\cdot \frac {E}{p}} = \frac {-c}{2+c} \tag {5}$$

Combinando $(2)$ y $(5)$ obtenemos

$$\eta_{arc} = \frac {-c}{2+c} \cdot \frac {2+c}{c} = -1$$

con el signo menos indicando la dirección del movimiento.