Medias geométricas, desviación estándar y ratios de Sharpe

Question

Tengo 3 preguntas relacionadas:

a) He visto fórmulas para GM y GS que o bien involucran, o no involucran, la toma del exponencial. ¿Cuál es correcta?

es decir, para GM he visto tanto $\text{mean}(\ln(1+r_{t}))$ como $\exp(\text{mean}(\ln(1+r_{t})))-1$

Para GS de nuevo he visto tanto $\text{std}(\ln(1+r_{t}))$ como $\exp(\text{std}(\ln(1+r_{t})))-1$

No sé si hay una respuesta correcta a esta pregunta o es solo cuestión de preferencia, pero me parece lógico que debemos invertir la operación logarítmica aplicando un exponencial.

b) Es una aproximación bien conocida que la media geométrica (GM) es aproximadamente igual a la media aritmética (AM) menos la mitad de la varianza (V).

(este es un buen documento discutiendo esto, y otras aproximaciones)

¿Alguien conoce una aproximación simple para GS similar a $GM = AM - \frac{V}{2}$

Empíricamente, basado en simular rendimientos gaussianos y también en datos reales, la desviación estándar geométrica (GS) parece estar muy cerca de AS. Sin embargo, esto depende de varios factores:

• Si usamos $\text{std}(\ldots)$ o $\exp(\text{std}(\ldots)) -1$ [Ver abajo]. Claramente, esta última siempre será más grande.
• El nivel de AS. A niveles más altos de AS, GS generalmente será más alto que AS.
• El índice de Sharpe de los rendimientos. Para un índice Sharpe de 0.25, GS es un poco más alto que AS. Con un índice Sharpe de 1.0, GS es más bajo que AS.

c) Dado que GM es menor que AM y AS~GS, No entiendo por qué generalmente se cita que "las razones de Sharpe geométricas $(\frac{GM}{GS})$ son mayores que las aritméticas $(\frac{AM}{AS})$"

Nuevamente, con experimentos, esto solo parece ser verdad para Sharpe irrealísticamente altos. Para Sharpes anualizados por debajo de aproximadamente 0.7, el Sharpe geométrico es más bajo que el aritmético. En el mundo real, no hay muchos activos con Sharpes por encima de 0.7....

También depende de cuál sea la respuesta a la pregunta (a). La versión exponencial de GS y GM da una cifra de Sharpe ligeramente más baja que las versiones simples.

Answer 1

La media geométrica de las cantidades $\{a_1, \dots, a_n\}$ es $$ \bar{a}_g = \left( \prod_{i=1}^n a_i \right)^{1/n} $$ Tomar el logaritmo de ambos lados da $$ \log \bar{a}_g = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \log a_i $$ por lo que el logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos.

En tu caso, las cantidades relevantes $a_i$ son las tasas de crecimiento en cada período, $$ a_i = 1 + r_i $$ y al sustituir esto en la ecuación anterior obtenemos $$ \log(1 + \bar{r}_g) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log(1 + r_i) $$ lo cual se puede reorganizar a $$ \bar{r}_g = \exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log(1 + r_i) \right) - 1 $$ por lo que es correcto exponenciar la media aritmética de los logaritmos (y restar 1) para calcular la tasa de crecimiento geométrica. La razón por la que a veces ves $$ \bar{r}_g = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log(1 + r_i) $$ es porque cuando la tasa de crecimiento es pequeña, $$ \log(1 + \bar{r}_g) \approx \bar{r}_g $$ por lo que a menudo es una aproximación con la que puedes salirte.

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Para definir la desviación estándar geométrica de $\{a_1,\dots,a_n\}$ usamos la idea anterior de que el logaritmo de la media geométrica es la media aritmética de los logaritmos. De manera similar, definimos el logaritmo de la varianza geométrica $\sigma_g^2$ como la varianza aritmética de los logaritmos -

$$ \log \sigma_g^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( \log a_i - \log \bar{a}_g \right)^2 $$

Nuevamente, puedes sustituir $a_i = 1 + r_i$ en el lado derecho, y luego usar la aproximación $$\log(1 + x) \approx x - \tfrac{1}{2}x^2 $$ para calcular una aproximación de $\sigma_g^2$ en términos de la desviación estándar aritmética $\sigma_a^2$, y momentos más altos de la distribución.

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Para la última parte de tu pregunta "No entiendo por qué se dice que los sharpes geométricos son más altos que los aritméticos" - ¿es eso cierto? Nunca he visto a nadie hacer esa afirmación.