Cómo mostrar que una función de utilidad homotética tiene funciones de demanda que son lineales en el ingreso

Question

Una función de utilidad homotética es aquella que es una transformación monótona de una función de utilidad homogénea.

Se me pide demostrar que si una función de utilidad es homotética, entonces las funciones de demanda asociadas son lineales en el ingreso.

En general, si $H$ es monótono y lo componemos con una función $g$ que es homogénea, obtenemos $H(g(x,y))$ que es homotético, por lo que la razón de derivadas de $H$ con respecto a $x$ e $y$ es la misma que la razón de derivadas de $g$ con respecto a $x$ e $y, ya que la función externa se cancela. Esto significa que todas las trayectorias de expansión de ingresos son rayos desde el origen y la pendiente de las curvas de indiferencia (conjuntos de nivel) tienen la misma pendiente a lo largo de la trayectoria de expansión de ingresos.

¿Cómo se puede demostrar en general que las funciones de demanda son lineales en el ingreso? Si no se tiene la forma funcional de la función de utilidad, ¿qué se puede sustituir en la restricción presupuestaria para resolver $x$ o $y$ como funciones de precios e ingresos solamente?

Todo lo que se sabe es que la razón negativa de derivadas es igual a $p_1/p_2$, pero no se puede sustituir nada en la restricción presupuestaria para $x$ o $y$ ya que solo se tienen derivadas parciales generales.

La única forma que se me ocurre para hacer esto es tomar la inversa de la derivada de la función interna (homogénea) g para resolver $x$ (o $y$).

Answer 1

Creo que lo que necesitas es que si $U(x,y)$ es homotético entonces $$ \forall \alpha \in \mathbb{R}_{++}, \forall (x,y) : \hskip 6pt \frac{\frac{\partial U(x,y)}{\partial x}}{\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}} = \frac{\frac{\partial U(\alpha \cdot x,\alpha \cdot y)}{\partial x}}{\frac{\partial U(\alpha \cdot x,\alpha \cdot y)}{\partial y}} $$ y amor.

Answer 2

$$D(p,I) = \arg\max {U(x):pxI}.$$ El problema $$\arg\max_x {U(x/I):px/I1}$$ tiene solución $$x/I = D(p,1)$$ por lo tanto $$D(p,I)/I = D(p,1)$$ o $$D(p,I) = ID(p,1)$$

Answer 3

1. Dado que existe una suposición de que "la preferencia es homotética", según la definición exacta, U(t_x)=t_U(x), donde U(x) es la utilidad directa de los bienes x y U(x) es homogénea de grado uno. bajo la suposición previa. (https://es.wikipedia.org/wiki/Preferencias_homotéticas)

2. Necesito demostrar que x(p,m) también es homogénea de grado uno en m. Podemos demostrarlo por contradicción.

_Supongamos que x(p,t_m) tx(p,m) _y que x(p,m) es la elección óptima que maximiza la utilidad basada en la restricción presupuestaria m._

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Se observa que ambas consumos _x(p,t_m)* y _t_x(p,m)* son factibles basados en el presupuesto _t_m*. Pero _x(p,t_m)* es la elección óptima, podemos obtener _U(x(p,t_m)) U(tx(p,m)).

Podemos multiplicar por 1/t ambos lados, lo cual resulta en _U(x(p,t_m))/ tU(tx(p,m))/ t. Dado que U(x) es homogénea de grado uno en x, podemos poner 1/t dentro de U(x), que es _U(X(p,t_m)/t)U(tx(p,m)/t)=U(x(p,m)).

Nota que x(p,m) ya es la elección óptima basada en la restricción presupuestaria m, pero aquí encontramos _otro consumo óptimo x(p,t_m)/t. Contradicción.

Entonces _x(p,t_m) tx(p,m). Y x(p,m) es homogénea de grado uno en m.

3. Debido a que la preferencia es homotética, _x(p,t_m)=tx(p,m), lo que significa que _m_x(p)=mx(p,1)=x(p,m).

Entonces _x(p,m)=m_x(p) donde la demanda es una función lineal del ingreso.

Pido disculpas por mi rudeza.

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