Modelo de Ramsey analíticamente trazable: cómo resolver la EDO para obtener trayectorias óptimas

Question

En Brunner y Strulik (2002) los autores afirman que la solución de \begin{align} \dot c &= \frac{c}{\sigma}(\alpha k^{\alpha-1} - \delta - \rho)\\ \dot k &= k^\alpha - \delta k - c \end{align}

viene dada por (ver ec. 27) \begin{align} c(t) &= \left(1 - \frac{1}{\sigma}\right) k(t)^\alpha\\ k(t) &= \left[\frac{1}{\delta\sigma} +\left(k(0)^{1-\alpha} - \frac{1}{\delta\sigma}\right)\exp(-\delta(1-\alpha)t) \right]^{\frac{1}{1-\alpha}} \end{align} si $\alpha\delta\sigma = \delta + \rho$ . Puedo verificar la solución para $c(t)$ (véase, por ejemplo, este hilo ). Sin embargo, no estoy seguro de cómo resolver para $k(t)$ . Podemos conectar $c(t)$ en $\dot k$ , lo que da \begin{align} \dot k &= \frac{1}{\sigma} k^\alpha - \delta k. \end{align}

• ¿Cómo se puede proceder?

Solución

Con respecto a la respuesta de Alecos podemos resolver la siguiente EDO

\begin{align} \dot z + (1-\alpha)\delta z = \frac{1-\alpha}{\sigma}. \end{align}

La solución genérica viene dada por \begin{align} z(t) &= \frac{1}{\exp(\int (1-\alpha)\delta dt)}\left[\int \exp\left(\int (1-\alpha)\delta dt\right) \frac{1-\alpha}{\sigma} dt + C \right]\\ &= \frac{1}{\delta\sigma} + C\exp((\alpha-1)\delta t). \end{align}

Con $z(0)$ dado que fijamos $C$ \begin{align} C = z(0) - \frac{1}{\delta\sigma} \end{align}

que produce el resultado deseado \begin{align} z(t) &= \frac{1}{\delta\sigma} + \left(z(0) - \frac{1}{\delta\sigma}\right)\exp((\alpha-1)\delta t) \\ \Longleftrightarrow \quad k(t)^{1-\alpha} &= \frac{1}{\delta\sigma} + \left(k(0)^{1-\alpha} - \frac{1}{\delta\sigma}\right)\exp((\alpha-1)\delta t)\\ \Longleftrightarrow \quad k(t) &= \left[\frac{1}{\delta\sigma} + \left(k(0)^{1-\alpha} - \frac{1}{\delta\sigma}\right)\exp((\alpha-1)\delta t)\right]^{\frac{1}{1-\alpha}}. \end{align}

Answer 1

La ecuación diferencial

$$\dot k = \frac{1}{\sigma} k^\alpha - \delta k$$

tiene la estructura de un Ecuación de Bernoulli . Lo resolvemos mediante los siguientes pasos de transformación:

1) En toda su extensión, por $k^{-\alpha}$ :

$$k^{-\alpha}\dot k = \frac{1}{\sigma} - \delta k^{1-\alpha} \tag{1}$$

2) Definir la variable $$z \equiv k^{1-\alpha} \implies \dot z = (1-\alpha)k^{-a}\dot k \tag{2}$$

3) Combinar para obtener

$$(1),(2) \implies \frac {1}{1-\alpha}\dot z = \frac{1}{\sigma} - \delta z $$

$$\implies \dot z + (1-\alpha)\delta z = \frac {1-\alpha}{\sigma}$$

Se trata de una ecuación diferencial de primer orden estándar con coeficientes constantes. Resuélvela y luego invierte el cambio de variable para obtener el resultado.

PS: Lo anterior requiere que $k \neq 0$ en todas partes, que es el caso económicamente significativo.