Crecimiento estocástico en tiempo continuo

Question

Literatura: Véase Chang (1988) para la parte teórica y Achdou et al. (2015) para la parte numérica, respectivamente.

Modelo

Consideremos el siguiente problema de crecimiento óptimo estocástico en notación per cápita. \begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align} todo es estándar excepto $dz$ que es el incremento de un proceso Wiener estándar, es decir $z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$ . La tasa de crecimiento de la población tiene una media $n$ y la varianza $\sigma^2$ .

Solución analítica

Suponemos una tecnología Cobb-Douglas \begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}

y la utilidad de CRRA \begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align} Establecer la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB-e) \begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}

La condición de primer orden (FOC) dice \begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align} donde $\pi(\cdot)$ denota la función política.

Reemplazar FOC en HJB-e \begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}

Adivinamos una forma funcional de $v(k)$ con ( Posch (2009, ec. 41) ) \begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}

donde $\Psi$ es una constante. La derivada de primer y segundo orden de $v$ vienen dadas por \begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}

El HJB-e dice entonces \begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}

La HJB-e maximizada es verdadera si se cumplen las siguientes condiciones \begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}

Reemplazar $\Psi$ en $v$ que finalmente da la función de valor verdadero \begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}

• ¿Cómo es que $v$ no depende de $\sigma$ ?

Por lo tanto, la función de valor determinista y estocástica debe ser la misma. La función política viene dada entonces por (utilizar la FOC y la derivada de la función de valor)

\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}

Tenga en cuenta que esta función no depende de $\sigma$ o bien.

Aproximación numérica

He resuelto el HJB-e mediante un esquema de viento ascendente. Tolerancia al error $\epsilon=1e-10$ . En la figura siguiente se representa la función política para variar $\sigma$ . Para $\sigma\to 0$ Llego a la verdadera solución (púrpura). Pero para $\sigma>0$ la función política aproximada se desvía de la verdadera. Lo que no debería ser el caso, ya que $\pi(k)$ no depende de $\sigma$ ¿verdad?

• ¿Puede alguien confirmar que las funciones políticas aproximadas deberían ser las mismas para cualquier $\sigma$ ya que el verdadero es independiente de $\sigma$ ?

Answer 1

Más bien un comentario:

Debería haber un operador de expectativas en el enunciado del problema, de lo contrario el problema no tiene sentido.

Eso de que "...la función de valor determinista y estocástica debe ser la misma..." no es del todo correcto. El valor de $\sigma^2$ es crucial en la restricción

\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}

Si $\sigma^2 = 0$ entonces es de suponer que $\rho < 0$ para que sea económicamente razonable $\alpha$ y $\gamma$ en cuyo caso el problema determinista puede estar mal planteado. Lo que sí es cierto es que la función de valor estocástica adopta la forma dada sólo si se cumple la restricción de los parámetros.

Factorizando el término Ito $\frac{1}{2} \sigma^2$ desde el lado derecho

$$ \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma), $$

la restricción puede escribirse como

$$ \rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)]. $$

En el lado derecho, tenemos un término de elasticidad de sustitución intertemporal $(1-\alpha\gamma)$ y un término de aversión al riesgo $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ . Lo que dice la restricción es que, con una determinada elección de $\sigma$ se compensan mutuamente, hasta la preferencia de tiempo $\rho$ y la deriva $n(1 - \alpha\gamma)$ . Por lo tanto, la función de valor es independiente de $\sigma$ .

Que la función de valor es independiente de $\sigma$ es un artefacto de la restricción, y la elección de CRRA $u$ . No es cierto en general.