Ecuación de precios para la mejor de las opciones

Question

Estoy tratando de derivar una ecuación de precios de martingala (solución de forma cerrada) para una opción al mejor de los casos. Pero me estoy atascando en un punto.

Hay 2 acciones $U(t)$ y $V(t)$ ambos siguen a GBM con una correlación de $\rho$ .

Quiero valorar una opción europea cuyo pago final es $\max \left\{ U(t), V(t) \right\}$ . Para simplificar, asumo que los tipos de interés son 0.

$$ V(0) = \mathbb{E} \left[ \max \left\{ U(t), V(t) \right\} \right] $$

Por la teoría de la expectativa total

$$ V(0) = \mathbb{E} \left[ U(t) \right] \mathbb{P} \left\{ U(t) > V(t) \right\} + \mathbb{E} \left[ V(t) \right] \left( 1 - \mathbb{P} \left\{ U(t) > V(t) \right\} \right) $$

Pero creo que este no es el enfoque correcto.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Para las mejores opciones, el enfoque habitual es utilizar La fórmula de Magrabe .

Partiendo de la siguiente relación:

$$\max\{U(t),V(t)\} = U(t) + \max\{V(t) - U(t), 0\} ,$$

terminas con la suma de uno de los activos subyacentes, $U(t)$ y una opción de cambio que paga $\max\{V(t) - U(t), 0\}$ .

Mientras que el valor actual del primer término es fácil de encontrar, el segundo requiere los resultados de Magrabe que establecen que el precio de la opción de cambio viene dado por:

$$V(t) N(d_U) e^{-q_V \tau} - U(t) N(d_V) e^{-q_U \tau}$$

donde

$$d_V = \frac{\ln\left(V(t) / U(t)\right) + \left( q_U - q_V - \sigma^2 / 2\right)\tau}{\sigma \sqrt{\tau}}$$

$$d_U = d_V + \sigma \sqrt{\tau}$$

y

$$\sigma^2 = \sigma^2_U + \sigma^2_V - 2 \rho \sigma_U \sigma_V$$

con $\tau$ siendo el tiempo de caducidad, $q_x$ y $\sigma_x$ siendo respectivamente la rentabilidad de los dividendos y la volatilidad del activo $x$ , $x \in \{U,V \}$

Por lo tanto, el precio de su mejor opción pasa a ser:

$$U(t) e^{-q_U \tau} + V(t) N(d_U) e^{-q_V \tau} - U(t) N(d_V) e^{-q_U \tau}$$

que se simplifica a

$$V(t) N(d_U) e^{-q_V \tau} + U(t) N(-d_V) e^{-q_U \tau}$$

Answer 2

Asumiendo la dinámica del GBM, trabajo a través de los detalles (tediosos) de una opción de compra en el peor de los casos en el caso más general de un strike no nulo.

ntgladd.com

ficha = Finanzas , subsección = Modelos opcionales , archivo = Lo peor de la opción de compra - Tres maneras

En una aplicación del mundo real, se utilizaría Monte Carlo con algún tipo de modelo de vol local calibrado por el mercado o vol estocástico.