Voy a través de la siguiente nota de Davis, enlace.
En el capítulo 3 se deriva de la Magrabe de la fórmula. Me quedé atrapado en la ecuación $(3.16)$.
Tenemos dos activos:
$$dS_i(t)=S_i(t)\sigma_idw_i(t)$$ para $i\in\{1,2\}$ y $d\langle w_1,w_2\rangle_t = \rho dt$. La rentabilidad que nos interesa es la siguiente:
$$C(0,s_1,s_2)=E[\max{(S_1(T)-S_2(T),0)}]$$
La idea es llevar a cabo un cambio de la medida, usando $S_2(T)$ como numéraire. Terminamos con una nueva medida $\tilde{P}$ con $$d\tilde{w}_2=dw_2-\sigma_2dt$$ y $$d\tilde{w}_1=dw_1-\rho\sigma_2dt$$ tanto el movimiento browniano por debajo de los $\tilde{P}$. La definición de $Y:=\frac{S_1}{S_2}$ se puede demostrar que:
$$dY=Y(\sigma_1d\tilde{w}_1-\sigma_2d\tilde{w}_2)$$
Las afirmaciones de los autores que esto puede ser escrito como:
$$dY=Y\sigma dw\etiqueta{3.16}$$
donde $w$ es un estándar el movimiento browniano y $\sigma = \sqrt{\sigma^2_1+\sigma^2_1-2\sigma_1\sigma_2\rho}$.
¿Cómo podemos llegar a $(3.16)$ y el movimiento browniano $w$, especialmente en virtud de la cual medir?
