¿Cómo consiguen los modelos factoriales reducir la dimensionalidad?

Question

Revisando la literatura sobre modelos factoriales, sigo viendo la frase "reducción de la dimensionalidad" y cómo los modelos factoriales permiten modelar activos en casos de alta dimensión, y agradecería mucho alguna explicación sobre cómo funciona esto.

La alta dimensionalidad parece darse cuando intentamos modelar todo un universo de activos (>1000, o $K$ de los activos, digamos) para la asignación óptima de la inversión, pero no existen suficientes datos de series temporales de $N$ puntos de datos para cada activo, y las técnicas estándar dejan de funcionar cuando $N < K$ . Este es un tema claro.

Ahora bien, los modelos de factores tratan de explicar la rentabilidad de un activo individual a lo largo del tiempo, $R_t$ con $k$ factores comunes $X_{k,t}$ a través del modelo básico $$R_t = \beta_0 + \beta_1X_{1,t} + \beta_2X_{2,t} + \ldots + \beta_kX_{k,t} + \epsilon_t$$

En pocas palabras, ¿cómo se elabora ese modelo de $R_t$ ¿reduce la dimensionalidad del problema? Todavía hay $K$ activos para modelar. Meucci's Riesgo y asignación de activos (2005) lo describe así en la página 132, sin una explicación satisfactoria (con $X$ siendo los rendimientos y $F$ siendo los factores) ,

Espero que alguien pueda dar la visión que explique esto.

EDITAR:

¿Podría alguien guiarme paso a paso por este ejemplo imaginario?

Tenemos

1. $K=20$ acciones,
2. $N=10$ puntos de precio semanales para cada uno (por lo que un $N\times K$ matriz)
3. $X=5$ factores compartidos entre los 20 valores (también 10 puntos de datos cada uno)

Dado que la covarianza de todas las poblaciones no puede calcularse normalmente (ya que $N<K$ ), ¿cómo recrea matemáticamente el modelo factorial la matriz de covarianza?

Answer 1

En términos sencillos, el autor significa que la reducción de la dimensionalidad puede lograrse a través de la modelización de factores porque puede necesitar sólo unos pocos factores (igual o menos que el número de variables/acciones) que expliquen la mayor parte de la variación en su matriz de covarianza de variables/acciones.

Un ejemplo sencillo: Suponga que tiene 3 asignaturas cuantitativas: matemáticas (M), química (C) y física (Ph), no quiere medir los conocimientos de la persona para cada asignatura, por lo que puede realizar un análisis factorial y reducir su dimensión de 3 asignaturas en un único factor, por ejemplo, de "inteligencia cuantitativa" (QI), donde cada asignatura es una combinación lineal de este factor, por ejemplo, M = $\beta$ QI + $\epsilon$ .

Answer 2

Creo que lo estás pensando demasiado. La relación final (3.114) es realmente el quid de la cuestión. En resumen, que los activos individuales están expuestos a algún conjunto de factores (X < K) y pueden ser modelados como tales en lugar de ser conducidos idiosincráticamente. De forma análoga, es similar a la utilización de PCA para modelar los rendimientos de los IF, donde podemos decir que tres factores explican más del 90% de la variación, frente a los bonos que se rigen simplemente por factores idiosincrásicos. Obviamente, esta es una forma más fácil de modelar los rendimientos de los valores, suponiendo que los factores son exhaustivos y los mercados son completos.

Answer 3

Técnicamente, digamos que tiene $K\gg X$ acciones y $X$ factores. Sus rendimientos (diarios) pueden escribirse como $$dR=\frac{dS}{S}=\mu\,dt + F\,dW$$ donde

• $\mu$ es un $K\times 1$ vector de rendimientos esperados (no es muy importante ya que es determinista y no jugará ningún papel en el cálculo de la covarianza)
• $F$ es un $K\times X$ matriz de cargas de los rendimientos de las acciones
• $dW$ es la parte aleatoria de los factores, suponemos que son independientes (es lo que se suele esperar de los factores, pero si no lo son, no es un gran problema: la matriz de covarianza de sus factores aparecerá en mi cálculo, pero para simplificar, la tomo igual a cero).

Una escritura directa de la covarianza de $dR$ es

$$C:=\mathbb{E}\left((dR-\mu\,dt), (dR-\mu\,dt)^T\right)= \mathbb{E}\left(F\, (dW\,dW^T)\, F^T\right).$$

Si sus factores están correlacionados, su covarianza es un $X\times X$ matriz dimensional $\Sigma_W:=\mathbb{E} (dW\,dW^T)$ Por lo tanto $C=F\,\Sigma_W F^T$ . Para mi sencillo ejemplo $\Sigma_W={\rm Id}$ y luego

$$C=F\,\Sigma_W F^T=F\, F^T.$$

Esto significa que si usted sabe cómo escribir el $K\times X$ matriz $F$ se puede calcular la covarianza de un gran número de valores sin que intervenga $K^2$ cálculos (pero sólo necesita $K\cdot X$ cálculos). Para saber cómo calcular $F$ , echa un vistazo a esta pregunta: Matriz de covarianza y descomposición de Cholesky .