Precio y cantidad óptimos de la externalidad

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta:

Dejemos que $h \geq 0$ representan una externalidad negativa de la producción de una empresa sobre un consumidor (representativo). El consumidor tiene una función de utilidad casi lineal y atribuye una utilidad de $\phi(h) = -2h^2$ a la externalidad. La función de beneficios de la empresa es $\pi(h)=120-2(h-10)^2 $ . Supongamos que el consumidor tiene el derecho de propiedad sobre $h$ y puede vender el derecho a producir una cantidad $h$ a cierto precio $P$ . La función de utilidad del consumidor a partir de alguna combinación $(h,P)$ es $u(h,P)= \phi(h) + P$ . La función de beneficios de la empresa es $\Pi(h,P)=\pi(h)-P$ .

1. Supongamos que la empresa puede hacer al consumidor una oferta de "lo tomas o lo dejas" para un nivel de externalidad $h$ al precio $P$ . Si el consumidor rechaza la oferta de la empresa, ésta no produce, por lo que la utilidad del consumidor es 0. Calcular la oferta óptima de la empresa $(h_p^f,P^f)$ al consumidor.
2. Supongamos que el consumidor puede hacer a la empresa una oferta de "toma o deja" para un nivel de externalidad $h$ al precio $P$ . Si la empresa rechaza la oferta no puede producir por lo que el beneficio de la empresa es 0. Calcular la oferta óptima del consumidor $(h_p^c,P^c)$ a la empresa.

Edición: Aproximación utilizando la pista de Herr K.

1. El consumidor puede rechazar la oferta, lo que le da una utilidad garantizada de 0. Maximizar el beneficio de la empresa sujeto a esta restricción, $u(h,P)= \phi(h) + P = 0$ . Resuelve esto usando el método Lagrangiano. $$ Lagrangian = objective function + constraint $$ $$\mathcal{L}(h,P,\lambda) = \Pi(h,P) + \lambda(\phi(h)+P)$$ $$\mathcal{L}(h,P,\lambda) = \pi(h) - P + \lambda(-2h^2+P)$$ $$\mathcal{L}(h,P,\lambda) = 120-2(h-10)^2 - P + \lambda(-2h^2+P)$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial h} = -4(h-10)-4h\lambda = 0 \rightarrow \lambda = \frac{-4h+40}{4h}$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial P} = -1 + \lambda = 0 \rightarrow \lambda = 1$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} = -2h^2+P = 0$$

Cuando fijamos ambos $\lambda$ iguales entre sí obtenemos $1=\frac{-4h+40}{4h} \rightarrow h=5$ . Si se introduce esto en $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}$ obtenemos $-2(5)^2+P=0 \rightarrow 50=P$

Así, $h_p^f = 5$ y $P^f= 50$

2. Hacemos lo mismo pero esta vez la función objetivo es la función de utilidad del consumidor $u(h,P)= \phi(h) + P$ y la restricción es la función de beneficios de la empresa $\Pi(h,P)=\pi(h)-P$ = 0.

$$ Lagrangian = objective function + constraint $$ $$\mathcal{L}(h,P,\lambda) = \phi(h)+P + \lambda(\Pi(h,P))$$ $$\mathcal{L}(h,P,\lambda) = -2h^2+P + \lambda(\pi(h) - P)$$ $$\mathcal{L}(h,P,\lambda) = -2h^2+P + \lambda(120-2(h-10)^2 - P)$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial h} = -4h -4\lambda(h-10) = 0 \rightarrow \lambda = -\frac{h}{h-10}$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial P} = 1 -\lambda = 0 \rightarrow \lambda = 1$$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} = 120-2(h-10)^2 - P = 0$$

Cuando fijamos ambos $\lambda$ iguales entre sí obtenemos $1=\frac{h}{h-10} \rightarrow 2h=5$ . Si se introduce esto en $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}$ obtenemos $120-2((5)-10)^2 - P=0 \rightarrow 70=P$

Así, $h_p^c = 5$ y $P^c= 70$

Answer 1

Tus pasos parecen correctos. Hay un pequeño error en el primer $\frac{\partial \mathcal L}{\partial h}$ El término $-4h(h-10)$ debería haber sido $-4(h-10)$ .

Los resultados también parecen razonables: Independientemente de quién haga la oferta, el nivel óptimo de Pareto de $h$ se produce. Teniendo en cuenta cómo están estructurados los procedimientos de negociación, quien consigue hacer la oferta se queda con el excedente de $20$ .

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P.D. Hay un problema en la parte 2 de la pregunta. Dice: "Si la empresa rechaza la oferta no puede producir por lo que el beneficio de la empresa es 0". Esta afirmación es una contradicción. Si la empresa no puede producir ( $h=0$ ), entonces el beneficio sería $-80<0$ si su beneficio es $0$ entonces debe producir alguna cantidad positiva de $h$ . Pero esta falta de rigor es de quien ha escrito la pregunta, no de ti.

Answer 2

Dado que ya se conoce el nivel de maximización del bienestar $h=5$ de su pregunta anterior Otro enfoque sería considerar simplemente que cualquier oferta óptima de "lo tomas o lo dejas" puede dividirse en dos pasos: Primero, maximizar el excedente total estableciendo $h=5$ . En segundo lugar, extraer todo el excedente maximizando el precio sujeto a la restricción de participación del otro. Esto último se traduce en fijar la utilidad o el beneficio, respectivamente, en cero. La oferta de precio óptima se obtiene inmediatamente.