Primera parte de su pregunta:
La solución proviene de la resolución de la SDE especificada en el papel y luego utilizando la función generadora de momentos de una variable aleatoria normal .
Formalmente, definamos la SDE especificada en el documento:
$$dS_u = \sigma dW_u,$$ con valor inicial $S_t = s$ . Para obtener la solución de la SDE anterior, podemos integrar de $t$ a $T$ en ambos lados:
\begin{align*} \int_{t}^T dS_u &= \int_t^T\sigma dW_u.\\ &\Updownarrow\\ S_T - S_t &= \sigma (W_T - W_t) \\ &\Updownarrow\\ S_T &= S_t + \sigma (W_T - W_t) \end{align*} Dado que los incrementos brownianos se distribuyen normalmente con $W_T - W_t \sim N(0, T-t)$ y además tenemos que $S_t = s$ obtenemos la siguiente distribución para $S_T \sim N(s, \sigma^2 (T-t))$ .
Ahora, reformulando la expectativa en su segunda fórmula nos da:
$$\mathbb{E}_t\left[-e^{-\gamma(x + qS_T)}\right] = -e^{-\gamma x}\mathbb{E}_t\left[e^{-\gamma q S_T}\right],$$
donde $x$ es la riqueza inicial en dólares y es una constante conocida.
Recuerda que la función generadora de momentos de una variable aleatoria Normal con distribución $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ viene dada por ( _véase aquí para la fórmula_ ):
$$\mathbb{E}\left[e^{tX}\right] = e^{t\mu}e^{\frac{1}{2}\sigma^2t^2}. $$
Utilizando esta fórmula, obtenemos el resultado deseado:
$$-e^{-\gamma x}\mathbb{E}_t\left[e^{-\gamma q S_T}\right] = -\exp(-\gamma x)\exp(-\gamma qs) \exp\left(\frac{\gamma^2 q^2 \sigma^2 (T-t)}{2}\right)$$
Segunda parte de su pregunta:
Hay que observar que los autores utilizan ahora un GBM sin deriva como SDE :
$$\frac{dS_u}{S_u} = \sigma dW_u,$$
con valor inicial $S_t = s$ . Esto tiene la solución:
$$S_T = S_t e^{-\frac{\sigma^2}{2}(T-t) + \sigma (W_T - W_t)}.$$
Cálculo del primer y segundo momento:
Redefinamos $S_T$ como $$S_T \overset{d}{=} S_t e^{-\frac{\sigma^2}{2}(T-t) + \sqrt{T-t}\cdot x},$$
donde $x$ tiene una distribución normal con $x \sim N(0, \sigma^2)$ y además su contrapartida al cuadrado viene dada por:
$$S_T^2\overset{d}{=} S_t^2 e^{-\sigma^2(T-t) + 2\sqrt{T-t}\cdot x}.$$
El cálculo de los momentos se desprende de la función generadora de momentos definida anteriormente y concluimos que:
\begin{align} \mathbb{E}_t\left[S_T\right] &= \mathbb{E}_t\left[S_t e^{-\frac{\sigma^2}{2}(T-t) + \sqrt{T-t}\cdot x}\right] \\ &= S_t e^{-\frac{\sigma^2}{2}(T-t)} \mathbb{E}_t\left[e^{\sqrt{T-t}x} \right]\\ &= S_t e^{-\frac{\sigma^2}{2}(T-t)}e^{\frac{\sigma^2}{2}(T-t)}\\ &= S_t \end{align} \begin{align} \mathbb{E}_t\left[S_T^2\right] &=\mathbb{E}_t\left[ S_t^2 e^{-\sigma^2(T-t) + 2\sqrt{T-t}\cdot x}\right]\\ &= S_t^2 e^{-\sigma^2(T-t)} \mathbb{E}_t\left[e^{2\sqrt{T-t}x}\right]\\ &= S_t^2 e^{-\sigma^2(T-t)}e^{2\sigma^2(T-t)}\\ &= S_t^2 e^{\sigma^2(T-t)}, \end{align} y recuerda que $S_t = s$ .
Ahora, reescribiendo su tercera ecuación e insertando los momentos anteriores, obtenemos la respuesta como se representa en su cuarta ecuación: \begin{align} \mathbb{E}_t\left[x + qS_T - \frac{\gamma}{2} \left(qS_t - qs\right)^2\right] &= \mathbb{E}_t\left[x + qS_T - \frac{\gamma}{2} q^2(S_t - s)^2\right]\\ &= x + q \mathbb{E}_t\left[S_T\right] - \frac{\gamma}{2} q^2 \mathbb{E}_t\left[(S_T-s)^2\right]\\ &= x + qs - \frac{\gamma q^2}{2} \mathbb{E}_t\left[S_T^2 + s^2 - 2 S_T\cdot s\right]\\ &= x + qs - \frac{\gamma q^2}{2} \left(\mathbb{E}_t\left[S_T^2\right] + s^2 - 2s^2\right)\\ &= x + qs - \frac{\gamma q^2}{2} \left(s^2 e^{\sigma^2 (T-t)} - s^2\right)\\ &= x + qs - \frac{\gamma q^2 s^2}{2} \left(e^{\sigma^2 (T-t)} - 1\right)\\ \end{align}
Espero que esto le sirva de ayuda.
