He encontrado esto enlace con todas las derivaciones del libro de Gali sobre el modelo neokeynesiano. En la página 13, la ec. $(3.7)$ el autor deduce la regla óptima de fijación de precios $P_t^*$ por una empresa representativa que resuelve un problema de maximización de beneficios intertemporal. Ecuación $(3.7)$ contiene dos series infinitas. A continuación, el autor realiza una log-linealización en ambas y procede a la solución. La log-linealización es una aproximación local, ¿no? Entonces, ¿cómo podemos estar seguros de que las dos series, con estas aproximaciones convergerán?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Matemáticamente hablando, no estamos seguros. La suma infinita mencionada es de la forma
$$E_t\sum_{k=0}^{\infty}\gamma^kX_{t+k},\;\; 0<\gamma<1$$
El hecho de que exista el factor de declive, $\gamma^k$ proporciona un cierto consuelo de que la suma converge, pero a partir de ejemplos como la serie armónica sabemos que incluso si $\lim_{k\rightarrow \infty}\gamma^kE_tX_{t+k} =0$ la suma puede no converger.
Algunas veces los autores proporcionan condiciones rigurosas para la convergencia, pero creo que es más importante no dejarse atrapar por nuestras propias herramientas: el uso del horizonte infinito es, por supuesto, no realista. La única razón por la que lo utilizamos es porque hace que las matemáticas sean más manejables. Así que en realidad modelamos un problema con un horizonte posiblemente largo pero finito. En ese caso, no hay problema de convergencia. Al extender el problema al horizonte infinito, asumimos silenciosamente que esto no destruirá la convergencia, ya que es un artificial extensión.
El último argumento económico a favor de la convergencia, es que no tiene sentido hablar de magnitudes económicas que van al infinito. Incluso en el caso de los precios, donde es tentador pensar que no tienen un límite superior por sí mismo Debemos recordar que los precios, como componente de un sistema económico, tienen límites últimos .
Con los precios volando al cielo, la economía se va al infierno (si me disculpan la iconografía cristiana), porque el sistema de precios deja de funcionar como mecanismo de señalización para coordinar las decisiones en un marco descentralizado. Pero en el mundo real, cuando esas explosiones "empiezan a suceder", el sociedad que encierra la economía en cuestión, intervendrá de una manera u otra, para acabar con el fenómeno. La experiencia histórica de las hiperinflaciones en tiempos de guerra y de otras burbujas de precios lo verifica.
Lo ideal sería que un único modelo englobara ambas posibilidades y también modelara la posible "reacción extraordinaria" al caso explosivo: aquí yacen infinitos doctorados.
Volviendo a la situación concreta del enlace, obsérvese que el precio en eq. $(3.7)$ se determina por el relación de dos sumas infinitas de este tipo. Incluso desde un punto de vista matemático, esto es un poco más favorable, porque aunque cada suma por separado diverja, su relación puede converger. Pero, de nuevo, lo que quiero decir es que "no dejes que las matemáticas te hagan olvidar la economía" de la situación.
