Por lo general, los modelos en las finanzas cuantitativas se enseñan dando, digamos, ecuaciones diferenciales estocásticas, condiciones iniciales, y luego la fijación de precios, bajo el modelo, varios derivados escritos en el subyacente. La calificación de un modelo como bueno o malo en relación con la fijación de precios de un determinado derivado suele hacerse diciendo que el modelo capta, de forma bastante pertinente, "cantidades" a las que es sensible el derivado. (Por ejemplo, el modelo Black-Scholes sería malo para fijar el precio de las opciones de salida a plazo, ya que, por lo menos, no capta los movimientos de la volatilidad implícita a plazo). A continuación, podemos calcular el P&L descontado de la cartera formada por el derivado vendido y los subyacentes (correspondiente a un delta-hedge del derivado).
Ahora considere una opción europea de función de pago $\varphi$ y la madurez $T$ escrito sobre un subyacente (negociable) $S$ . Considere la mencionada cartera asociada a esta opción y observe $\Delta_t$ el número de acciones que tenemos en la cartera en el momento $t$ . Podemos escribir (y es bastante clásico) el P&L descontado de la cartera durante la vida de las opciones como $$P\&L_0 = -e^{-\int_0^T r_S ds} \varphi (S_T) + \pi_0 + \int_0^T e^{-\int_0^t r_s ds} \Delta_t \left( dS_t - S_t r_t dt\right)$$ donde $\pi_0$ es el precio que hacemos una vez $t=0$ en la opción. Tenga en cuenta que sólo subrayo la dependencia de $\Delta$ en el tiempo, pero puede, por supuesto, depender de cualquier otra cosa. Tenga en cuenta también que $P\&L_0$ no depende de ninguna especificación del modelo para $S$ .
Mi pregunta es la siguiente: sin hacer ninguna hipótesis de modelo, es decir, sin especificar $dS_t$ o $r_t$ ¿hay una correspondencia
$$\{\textrm{set of hypotheses on $ P\L_0 $}\}\to \{\textrm{models on $ S $ under a certain measure}\}$$
tal que para cualquier modelo "conocido" (BS, Heston, SABR, 3/2, 4/2, P1 de Bergomi, etc.) existe un conjunto de hipótesis sobre $P\&L_0$ (por ejemplo sobre su expectativa, su varianza que uno quisiera por ejemplo minimizar, sobre sus otros momentos etc bajo alguna medida o bajo otra, o algo más) que plomo al modelo dado y al teorema fundamental de la fijación de precios asociado a él?
Por plomo Me refiero a : querer prescribir/minimizar algunas cantidades asociadas a $P\&L_0$ dará lugar a ecuaciones funcionales (variacionales, de hecho) sobre la función $\Delta$ que llevará a una EDP que finalmente conducirá (a través de Feynman-Kac) a un modelo sobre $S$ .
En primer lugar: cómo introducir la dependencia de $\Delta$ en un parámetro (en $S$ por ejemplo, para empezar, o más tarde en la varianza realizada) mediante afirmaciones/hipótesis sobre la $P\&L_0$ ? ¿Cómo recuperar el modelo Black-Scholes? ¿Otros modelos?
