¿Cómo derivar la frontera de posibilidades de utilidad?

Question

Estoy tratando de derivar la frontera de posibilidades de utilidad de una economía cuya curva de contrato de consumo es $$y_A = \frac {y} {x} x_A$$ y $$y_B = \frac {y} {x} x_B$$ donde $x_A + x_B = x$ y $y_A + y_B= y$.

$$U_i = \sqrt {x_iy_i}$$

Mientras se deriva la FPU, han sumado $U_A$ y $U_B, y no entiendo por qué. ¿Por qué sumamos utilidades mientras se deriva la FPU?

(Dí todos los detalles de la pregunta porque no estoy seguro si sumaron las utilidades solo por las peculiaridades de la pregunta o si es un algoritmo.)

Answer 1

Dado que $u_A(x_A, y_A) = \sqrt{x_Ay_A}$, $u_B(x_B, y_B) = \sqrt{x_By_B}$ son las funciones de utilidad de A y B, y el endowment total de X e Y en esta economía de intercambio puro es $\omega_X$ y $\omega_Y$, la frontera de posibilidades de utilidad (FPU) es el conjunto de todos los pares de utilidad $(\mu_A, \mu_B)$ tales que existe una asignación óptima de Pareto $((x_A, y_A), (x_B, y_B))$ con la propiedad: $\mu_A = u_A(x_A, y_A)$ y $\mu_B = u_B(x_B, y_B)$. Por lo tanto, para encontrar la FPU, utilizaremos las siguientes condiciones:

• Optimalidad:

$\displaystyle \frac{y_A}{x_A} =\frac{y_B}{x_B}$

• Factibilidad:

$x_A + x_B = \omega_X$ y $y_A + y_B = \omega_Y$

• Utilidad:

$\mu_A = \sqrt{x_Ay_A}$ y $\mu_B = \sqrt{x_By_B}$

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtenemos la FPU como: $\mu_A + \mu_B = \sqrt{\omega_X\omega_Y}$.

Answer 2

En general, uno podría usar el siguiente procedimiento para encontrar UPF (en un caso de dos personas):

1. fijar la utilidad de una persona en algún nivel arbitrario, digamos $U_A=\bar u$
2. maximizar la utilidad de la otra persona (es decir, persona $B$) sujeta a las restricciones de recursos, así como $U_A=\bar u$
3. la máxima utilidad de $B$, llámala $U_B^*$, encontrada en el paso 2 debería ser una función de $\bar u$, y otros parámetros del problema: $U_B^*(\bar u,\dots)$
4. finalmente, puedes variar el valor de $\bar u$ (en el rango de valores aceptables para $\bar u$) para trazar la UPF.

No hay una razón a priori que los puntos en la UPF deban ser iguales a la suma de las utilidades individuales, ya que la utilidad es ordinal (a menos que se asuma lo contrario). Puede ser que la utilidad de la raíz cuadrada elegida para esta pregunta sea lo que está causando el resultado. Pero no he hecho las matemáticas para verificarlo.