demanda hicksiana de complementos perfectos

Question

Como dice el título, quiero saber cómo derivar la demanda hicksiana de complementos perfectos $\text{min} \, \{x1,x2\}$ . Gracias de antemano.

Además, no se da el precio, ni el presupuesto. mi pregunta principal es ¿cómo hago esto teniendo en cuenta que realmente no hay función de utilidad?

Answer 1

La demanda hicksiana es el paquete de consumo que minimiza el gasto del consumidor sujeto a la restricción de que alcance algún nivel de satisfacción objetivo en el equilibrio. En el problema, el gasto en cualquier paquete $(x, y)$ viene dada por $p_Xx + p_Yy$ y el nivel de satisfacción objetivo es $\mu$ . Dado que la función de utilidad es $u(x, y) = \min(x, y)$ el problema de minimización del gasto se formula como

\begin{eqnarray*} \min_{x, y} \ \ & p_Xx+p_Yy \\ \text{s.t.} \ \ & \min(x, y) \geq \mu\end{eqnarray*}

La solución a este problema es una función conocida como función de demanda hicksiana:

$x^h (p_X, p_Y, \mu) = \mu $

$y^h (p_X, p_Y, \mu) = \mu $

Answer 2

Aunque se pueden derivar las demandas hicksianas resolviendo el problema de minimización del gasto, pero la función de Leontief no es diferenciable en el "quiebre", o en el "punto de optimalidad". Por lo tanto, hay que recurrir a manipulaciones algebraicas más sencillas para encontrar las demandas hicksianas.

Dejemos que $\textbf{p}\in\mathbb{R_{++}^2}$ (es decir, tanto $p_1 \ \& \ p_2$ son $>0$ ). Sabemos que para $U(x,y)=min\{x,y\}$ el paquete de consumo óptimo se encuentra en el punto en el que $x=y$ . Sea la correspondencia presupuestaria $p_1x+p_2y\leq w$ , donde $w$ es el nivel de ingresos. El paquete de consumo óptimo se produce cuando se utiliza toda la renta. Así, tenemos $p_1x+p_2x= w$ (ya que $x=y$ en el punto de optimización). Esto nos da las correspondencias de la demanda como $x(\textbf{p},w)=y(\textbf{p},w)=\frac{w}{p_1+p_2}$ . Utilizando las demandas, podemos averiguar el utilidad indirecta como $v(\textbf{p},w)=U(x(\textbf{p},w),y(\textbf{p},w))=min\{\frac{w}{p_1+p_2},\frac{w}{p_1+p_2}\}=\frac{w}{p_1+p_2}$ .

A continuación, nos dirigimos al principio de dualidad, es decir, para un nivel de utilidad dado, tenemos $v(\textbf{p},e(\textbf{p},u))=u$ . Así, tenemos $\frac{e(\textbf{p},u)}{p_1+p_2}=u$ o $e(\textbf{p},u)=u(p_1+p_2)$ . A continuación, apelamos al lema de Shephard, es decir $\frac{\partial e(\textbf{p},u)}{\partial p_i}=h_i(\textbf{p},u)$ . Obsérvese que la función de gasto es diferenciable en los precios. Así, obtenemos $h_1(\textbf{p},u)=u$ y $h_2(\textbf{p},u)=u$ .