Numeros de Sobol en simulación de Monte Carlo

Question

Quería averiguar cuánto más rápido convergen los números cuasi-aleatorios Sobol al precio de la opción B&S en comparación con los números pseudoaleatorios. Para generar los números Sobol, utilicé la randtoolbox en R para generar estos números. Cuando uso solo un paso, es decir, desde t=0 hasta t=T, es fácil. Utilicé la siguiente fórmula para ir de s(0) a s(T).

S_t= S_0*exp((- ^2/2)*t+ W_t, donde W_t es un número aleatorio Sobol

Utilizo los números Sobol y por lo tanto la convergencia es mucho más rápida porque estos números están mejor distribuidos de manera normal que cuando se utilizan números pseudoaleatorios.

Mi problema es el siguiente:

¿Cómo necesito generar estos números si uso pasos intermedios en mi simulación, debo usar más dimensiones o simplemente generar más números Sobol a partir de los mismos números. Llevo mucho tiempo atascado en esto. Espero que alguien pueda ayudarme, especialmente utilizando el paquete randtoolbox de R para generar estos números.

Gracias

Answer 1

Primero permítame decir que en el modelo Black-Scholes tal como lo tiene, por supuesto no hay necesidad de pasos intermedios al fijar el precio de las opciones de compra simples, ya que la Ecuación Diferencial Estocástica tiene la solución en forma cerrada que usted incluyó. Serían necesarios pasos intermedios para pagos complicados u otras EDEs.

Para responder a su pregunta sin embargo, sí necesita usar dimensiones adicionales. Piense en el algoritmo de fijación de precios de opciones como una integración sobre el espacio de probabilidad de los caminos de los precios de las acciones. Cada vencimiento intermedio introduce una nueva dimensión a ese espacio de probabilidad.

El punto de estas secuencias cuasialeatorias es que, en múltiples dimensiones, proporcionan una cobertura del espacio de probabilidad más uniformemente distribuida que los números pseudoaleatorios nos darían.

Cuasialeatorio

Si no hacemos extracciones multidimensionales de la secuencia Sobol, no nos beneficiaríamos de esa regularidad adicional.

Pseudoaleatorio

Observe cómo estas extracciones pseudoaleatorias tienen múltiples lugares donde las muestras están justo al lado unas de otras, junto con algunos "agujeros" muy grandes.

Answer 2

Necesitas usar más dimensiones. Si el número de dimensiones (es decir, pasos) es grande, también puedes tener que usar un puente de Browniano como se describe en el libro de Joshi o Jäckel.