Aproximación a la opción At-The-Money-Forward

Question

Dado que la fórmula de Black-Scholes para una European Call viene dada por:

$$C(S,t)=Se^{-D(T-t)}N(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2)$$

$S$ es el precio de las acciones, $K$ es el precio de ejercicio

Una opción At-The-Money-Forward se ejecuta cuando $K=Se^{(r-D)(T-t)}$ .

Cuando $t\rightarrow T$ , demuestran que la aproximación se puede obtener para dar $$C(S,t)\approx 0.4 Se^{-D(T-t)}\sigma\sqrt{T-t}$$

Me he dado cuenta en este post AQUÍ entendí todo excepto el último paso:

Lo he comprobado: $$C(S,t)\approx S(0.4\sigma\sqrt{T-t})$$ utilizando la expansión de la serie de Taylor de $N(x)$ alrededor de $0$ pero no se sabe cómo se puede utilizar el siguiente reemplazo? $$S=Se^{-D(T-t)}$$

Answer 1

Reescriba el precio de compra como $$ C(S,t) = e^{-r(T-t)} \left( F N(d_1) - K N(d_2) \right) $$ donde $F = Se^{(r-D)(T-t)}$ (precio a plazo). Utilizando $F$ también se puede escribir que $$d_{1,2} = \frac{ \ln(F/K)\pm\frac{1}{2} \sigma^2(T-t) }{\sigma\sqrt{T-t}}$$

Ahora, por definición cuando la opción es la estructura AMTF, $K=F$ y tienes que $$ C(S,t) = e^{-r(T-t)} F \left[ N\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T-t}\right) - N\left(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T-t}\right) \right] $$

En ese caso, se encuentra exactamente en la misma situación que en este (véase la ecuación (1)), pero con $Fe^{-r(T-t)}=Se^{-D(T-t)}$ en lugar de $S$ . El resto del desarrollo se mantiene igual.