Cómo utilizar el principio de reflexión para resolver la solución analítica de la doble barrera de salida

Question

Consideramos que up/down-out-call cuyo pago $$V(T,S_T) = \Psi(S_T)\mathbb{II}(S_T),\ V(t,B) = 0.$$ Aquí la función de restricción de rango es indictor function tal que $\mathbb{II}(S_T)$ = \begin{cases} \mathbb{II}_{\{S_T < B\}} & \textrm{up-out-call}\\ \mathbb{II}_{\{S_T > B\}} & \textrm{down-out-call}\\ \end{cases} Vemos que la única diferencia entre el barrier option y vanilla option es la condición de barrera: $V(t,B) = 0,$ por lo que podemos suponer $$V(t,S) = \widehat V(t,S) - \widetilde V(t,S)$$ s.t $$\widehat V(T,S) = \Psi(S_T),\quad \widetilde V(T,S) = 0$$ $$\widehat V(t,B) = \widetilde V(t,B)$$ Y utilizar el reflection principle $$\widetilde V(t,S) = \left(\dfrac{S}{B}\right)^{2\alpha}\widehat V(t,\dfrac{B^2}{S})$$ Ya que si $\mathbb{II}(S)$ no es cero, $\mathbb{II}(\dfrac{B^2}{S})$ debe ser cero, entonces $\widetilde V(T,S) = 0.$

Pero, ¿cómo utilizar este método para hacer frente a la double barrier-out-call es decir $$V(t,B_1) = V(t,B_2) = 0,\quad B_1 < B_2$$ o es posible utilizar down-out-call con barrera $B_1$ y up-out-call con barrera $B_2$ para construir la doble barrera?

Answer 1

No, el precio de una opción de doble barrera no puede descomponerse en opciones de barrera única.

A continuación se presentan algunas referencias que aplican el método de las imágenes a la valoración de las opciones de doble barrera:

1. Una exposición muy clara y fácil de seguir se encuentra en el capítulo 3.5 de la tesis doctoral de Konstandatos (2003).

2. Si no tienes acceso a ella, creo que también está reproducida en el libro del autor, Konstandatos (2008).

3. Otra referencia es el trabajo de Buchen y Konstandatos (2008). Aquí consideran las barreras exponenciales. Parece que están interesados en el caso especial cuando la "flexión" exponencial es cero.

Referencias

Buchen, Peter W. y Otto Konstandatos (2009) "A New Approach to Pricing Double-Barrier Options with Arbitrary Payoffs and Exponential Boundaries," Finanzas Matemáticas Aplicadas , Vol. 16, No. 6, pp. 245-259

Konstandatos, Otto (2003) "A New Framework for Pricing Barrier and Lookback Options", tesis doctoral, Universidad de Sydney

Konstandatos, Otto (2008) Fijación de precios de las opciones exóticas dependientes de la trayectoria : VDM Verlag Dr. Müller