¿Por qué el gráfico de la demanda unitaria elástica es una hipérbola?

Question

Mi profesor dijo que el gráfico de la demanda elástica unitaria es una parábola:

Pero no logro entender cómo en una hipérbola el cambio porcentual del precio y la cantidad demandada permanece igual. ¿Alguien puede explicármelo? Al principio pensé que permanecía igual que en una línea recta, pero un rápido estudio demostró que no es el caso en una línea con una pendiente negativa. Sin embargo, la pregunta sigue siendo la misma, ¿cómo es que en una hipérbola el cambio porcentual permanece el mismo?

Answer 1

La elasticidad precio de la demanda se define como:

$$E_P=\frac{dQ}{dP} \frac{P}{Q}$$

Aunque generalmente la elasticidad depende del precio, existe un tipo especial de funciones (funciones isoelásticas) para las cuales la elasticidad permanece igual a lo largo de toda la función.

Por ejemplo, considera la demanda dada por:

$$P=AQ^{1/e}$$

Esta función de demanda siempre tendrá la misma elasticidad precio $E_P=e$, lo cual puedes verificar resolviendo primero la función anterior para Q y luego aplicando la fórmula mencionada anteriormente. Para $|e|=1$, la elasticidad siempre sería unitaria. Esto se debe a que la elasticidad no depende de nada más, por ejemplo, para una función de demanda lineal, la elasticidad dependería del precio como para $Q=a-P$, la $E_P=-P/(a-P)$ y por lo tanto, como señalaste correctamente, a lo largo de la línea la elasticidad cambia constantemente con el precio.

Al graficar la función anterior, obtendrás una imagen que se asemeja a una hipérbola. Mira la imagen a continuación. Sin embargo, no todas las funciones que describen una hipérbola tienen esa propiedad. No creo que tu profesor haya querido decir que todas las hipérbolas tienen una elasticidad constante.

.

Además, el proyecto de demostración de wolfram alpha, donde obtuve la imagen, tiene una increíble utilidad que muestra gráficamente cómo la elasticidad permanece constante en cada punto de la curva. Incluso te permite jugar con los parámetros del modelo. Aquí tienes el enlace si quieres explorarlo.

——————————————————-

A petición en el comentario, así es como se muestra que la elasticidad es $e$ para $P=AQ^{1/e}$

1. Resuelve para $Q$ lo cual te da:

$$Q= \frac{1}{A} P^e$$

2. Aplica la fórmula para la elasticidad lo cual te da:

$$E_p=e\frac{1}{A}P^{e-1} \frac{P}{Q}$$

3. Sustituye Q por la expresión original $Q= \frac{1}{A} P^e$

$$E_p=e\frac{1}{A}P^{e-1} \frac{P}{ \frac{1}{A} P^e}$$

4. Simplifica la expresión anterior y obtendrás:

$$E_P=e$$