Un ratio de Sharpe positivo cuando la cartera pierde dinero, ¿puede ocurrir eso o es un error en mi código?

Question

Tengo un problema para calcular (anualizado a partir de la rentabilidad diaria) el ratio de Sharpe, aunque he leído algunos posts relacionados aquí. Digamos que tengo un rendimiento diario, por ejemplo: $$[1.15, 1.2, 0.7]$$ significa que después de 3 días de negociación mi riqueza acumulada (para, digamos, 1 dólar de inversión) es: cum_wealth=$1*1.15*1.2*0.7=0.966$ que afirma que realmente he perdido dinero. Cuando calculo el ratio de Sharpe sigo estos pasos:

1. Resta $1.0$ para obtener el porcentaje: $X=[0.15, 0.2, -0.3]$
2. Calcule la expectativa de la muestra: $\hat{E}=(0.15+0.2-0.3)/3=0.0166$
3. Calcule la desviación estándar de la muestra: $\hat{\sigma}=0.224$
4. Suponiendo que la tasa libre de riesgo es del 0%. Divida y anualice: Sharpe = $E/\sigma * \sqrt{252}=1.176$

He construido el ejemplo anterior específicamente para mostrar que obtengo un ratio de Sharpe positivo cuando en realidad la cartera pierde dinero, lo cual es contra-lógico (si las matemáticas son correctas)... ¿Qué se me escapa? Saludos

Answer 1

Voy a ampliar el excelente comentario de @AlexC. Que $R$ denotan una variable aleatoria que toma los valores .15, .2 y -.3 con igual probabilidad.

Podemos ver que ambos:

$$\operatorname{E}[R] > 0 \quad \quad \operatorname{E}[\log(1+R)] < 0$$

Mientras que el rendimiento esperado $\operatorname{E}[R]$ es efectivamente positivo, la rentabilidad logarítmica esperada $\operatorname{E}[\log(1+R)]$ es negativo lo que lleva al proceso de valor $v_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t$ ) a disminuir casi con seguridad a largo plazo.

Por la ley de los grandes números, el logaritmo de la media geométrica del rendimiento converge (como $T \rightarrow \infty$ ) a la expectativa de la rentabilidad logarítmica. La media geométrica de la rentabilidad es:

$$ \left( \prod_{t=1}^T (1 + R_t) \right)^{\frac{1}{T}}$$

Lleva el registro para obtener:

$$ \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \log (1 + R_t)$$

Por la ley de los grandes números: $$ \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \log (1 + R_t) \xrightarrow[]{\text{a.s.}} \operatorname{E}[\log (1 + R)]$$