Regla del Trapecio de 4 puntos para la integración numérica

Question

Antecedentes:

Esto se refiere a los conceptos de finanzas matemáticas de Mark Joshi, capítulo 7, problema 11.

Pregunta:

Tenemos en el modelo Black-Scholes: $S_0 = 1, T = 1, \sigma = 0.1, r = 0$ . Un derivado paga $\cos(S_1)$ en el momento $1$ si $S_1$ está entre $1$ y $2$ . Encuentre el precio implícito en un $4$ -regla del trapecio integración numérica.

Ahora entiendo que tenemos que evaluar

$$\mathbb{E}\left(\cos(S_1)\right) = \int \cos\left(e^{(r - 0.5\sigma^2)T + \sigma\sqrt{T}z})\right)e^{-z^2/2}dz$$

La parte extraña de su solución es que está evaluando esta integral desde $z_1$ a $z_2$ y afirma que este $z_j$ cartografía $z$ a $j$ y resolviendo para $z_1 = 0.05, z_2 = 6.981$ .

La fórmula del libro dice que para resolver usando el método del trapecio. Si queremos integrar una función $g(x)$ en un intervalo $[a, b]$ entonces dividimos el intervalo en $N$ piezas de igual longitud. Por lo tanto, establecemos

$$x_j = a + \frac{j}{N}(b-a)$$

para $j = 0,\ldots, N$

No veo cómo cualquier lector puede tomar esa información y resolver $z_1$ y $z_2$ . Se agradece cualquier sugerencia al respecto.

Answer 1

Esto no tiene nada que ver con la regla del trapecio. La derivada paga $cos(S_1)$ si $1<=S_1<=2$ . Resolver $e^{(r-0.5\sigma^2)T+\sigma\sqrt{T}z)}=1$ y $e^{(r-0.5\sigma^2)T+\sigma\sqrt{T}z)}=2$ para obtener los límites de la integral.