Cómo encontrar las asignaciones eficientes de Pareto en las esquinas

Question

Tengo algunos problemas para entender cómo encontrar la asignación eficiente de Pareto que está en la frontera de la caja de Edgeworth. Es decir, las interiores, se pueden encontrar utilizando la igualdad $MRS_A = MRS_B$ , donde $A$ y $B$ son los dos agentes de nuestra economía de intercambio puro, mientras que no encuentro nada sobre las asignaciones en la frontera.

¿Existe algún procedimiento matemático que pueda utilizar o es sólo algo que tengo que tratar utilizando la intuición (utilizando la definición de eficiencia de Pareto quiero decir).

Para ser más claro, cito un ejercicio de mi cuaderno de trabajo en el que hay dos agentes con preferencias $u^A(x_1,x_2) =\sqrt{x_1x_2}$ y $u^B(x_1,x_2)=x_1+3x_2$ y dotaciones $\omega^A=(1,0)$ y $\omega^B=(0,1)$ . La cuestión es identificar el conjunto de Pareto.

Esta es la solución, donde las líneas azules son el conjunto de Pareto.

Answer 1

Tomemos su ejemplo:

• En primer lugar, observamos que ambas funciones de utilidad son diferenciables y casi cóncavas.
• Observando esto, también sabemos que la condición necesaria y suficiente para la optimalidad interna de Pareto es que $MRS_{x_1,y_1}$ = $MRS_{x_2,y_2}$ (como ya ha dicho correctamente).

Esta condición coincidirá claramente con la parte de la solución que identifica el lugar en las asignaciones internas de P.O.

Ahora, para los puntos P.O. a lo largo del borde derecho:

• Podemos encontrar el límite de las soluciones internas identificando el rango en el que falla la condición MRS señalada anteriormente.
• Como la igualdad falla, sabemos que debe prevalecer una desigualdad estricta.
• La direccionalidad de la desigualdad estricta predominante identifica la arista a lo largo de la cual encontramos nuestras asignaciones de P.O.

Por lo tanto, creo que hay dos maneras de responder a tu pregunta.

1.) Para este tipo de gráfico, en el que un agente tiene preferencias lineales y el otro tiene preferencias curvilíneas y convexas, es fácil ver que el locus de las asignaciones P.O. se desplaza hacia el borde derecho de la caja de Edgeworth. Por lo tanto, las soluciones de esquina recorren ese borde a lo largo del rango en el que los puntos de tangencia ya no son interiores.

2.) Si se encuentra una situación en la que, por ejemplo, ambos agentes tienen preferencias lineales, puede utilizar la direccionalidad de la desigualdad estricta para identificar a lo largo de qué bordes de la caja de Edgeworth tiene asignaciones P.O.

Un ejemplo para 2.) :

$U_1(x_1,y_1)=X_1+2Y_1$ y $U_2 = 2X_1+Y_1$

Ahora, debes hacer lo siguiente:

• asegúrese de entender por qué $MRS_1 \neq MRS_2$
• determinar la dirección de la desigualdad estricta entre los dos
• utilícelo para identificar a lo largo de qué borde de la caja tendrá asignaciones P.O.

Pistas:

• $MRS_A<MRS_B$

• las asignaciones de P.O. están a lo largo de los bordes izquierdo y superior de la caja Edgeworth

Editar:

También creo que es una buena referencia:

http://nicolalimodio.com/wp-content/uploads/2015/11/ec202d.pdf

Espero que algo de esto ayude. Esto fue un problema para mí también cuando empecé a aprender tales cosas y me tomó un poco de lectura y la práctica para finalmente llegar a ser cómodo con todo.