Los modelos económicos suelen asumir que la estructura de la economía es conocimiento común entre los agentes.
Matemáticamente, un evento es de conocimiento común si se encuentra en el conozca de todos los conjuntos de información de los agentes. (El encuentro de una familia de $\sigma$ -es la más fina coarsificación común de todas las $\sigma$ -algebras en la familia. Véase Aumann 1976).
Sin embargo, en la literatura, cuando un documento hace la suposición de conocimiento común, casi nunca se ve la reunión de cualquier conjunto de información en cualquier lugar. Permítanme dar un ejemplo (Grossman y Stiglitz 1980).
Modelo Grossman-Stiglitz
Se trata de un modelo en el que dos operadores con una utilidad (esencialmente) de media-varianza están asimétricamente informados sobre la media. Por supuesto, la estructura de la economía es de conocimiento común y los comerciantes son racionales. Por lo tanto, el precio de equilibrio debe, en primer lugar, despejar el mercado y, en segundo lugar, ser coherente con la expectativa del comerciante desinformado. Los detalles son los siguientes.
Dejemos que $I$ y $U$ denotan a los comerciantes informados y no informados, respectivamente. Los comerciantes tienen la misma utilidad CARA, $u_I(W) = u_U(W) = - e^{-\gamma W}$ . El tipo sin riesgo es $r$ . El precio del activo de riesgo mañana es $P_2 \sim \mathcal{N}(\bar{P}, \sigma^2) | \bar{P}$ . El comerciante informado $I$ conoce $\bar{P}$ el comerciante desinformado $U$ sólo conoce la distribución previa $\bar{P} \sim \mathcal{N}(P_0, \sigma_0^2)$ .
Que ambos comerciantes tengan dotaciones de riqueza $E$ . (La utilidad de CARA no tiene efecto sobre la riqueza, por lo que $E$ no desempeña ningún papel en la elección de la cartera a continuación).
Dado el precio actual $P_1$ para el activo de riesgo, la riqueza del comerciante mañana es $W(\phi) = rW + \phi (P_2 - rP_1)$ si decide mantener $\phi$ unidades de activo de riesgo.
Maximizando la utilidad esperada, la demanda de un comerciante es
$$ \frac{E[P_2|\mathcal{F}] - rP_1}{\gamma Var(P_2|\mathcal{F})} $$
condicionado a su conjunto de información $\mathcal{F}$ . Para $I$ , $\mathcal{F}_I = \{ \bar{P}, P_1\} $ . Para $U$ , $\mathcal{F}_U = \{ P_1 \}$ .
El suministro $x$ del activo de riesgo se distribuye $\mathcal{N}(\bar{x}, \sigma_x^2)$ .
El equilibrio es una función de precios $P_1(\bar{P}, x)$ tal que
$$ \frac{\bar{P} - r P_1(\bar{P}, x)}{\gamma \sigma^2}+ \frac{E[P_2|P_1(\bar{P}, x)] - r P_1(\bar{P}, x)}{\gamma Var(P_2|P_1(\bar{P}, x))} = x. $$
En otras palabras, el mercado se despeja y el comerciante desinformado calcula su demanda utilizando la función de precios correcta en el equilibrio.
Ahora, en este escenario CARA-normal, las cosas son lineales y uno puede resolver el equilibrio adivinando una función de precios
$$ P_1(\bar{P}, x) = A\bar{P} + Bx + C $$
y encontrar $A$ , $B$ y $C$ por los coeficientes de coincidencia. Por ejemplo, calcular
$$ E[P_2|P_1] = P_0 + \frac{A \sigma_0^2}{A^2 \sigma_0^2 + B^2 \sigma_x^2} [A(\bar{P} - P_0) + Bx] $$
y
$$ Var(P_2|P_1) = \frac{B^2 \sigma_x^2}{A^2 \sigma_0^2 + B^2 \sigma_x^2}\sigma_0^2 + \sigma^2 $$
Sustituyendo en la ecuación de compensación del mercado y con algo de álgebra tediosa se obtienen las constantes endógenas $A$ , $B$ y $C$ .
En cambio, Grossman y Stiglitz hacen algo más elegante. Señalan que el comerciante desinformado $U$ puede condicionar al demanda residual para cualquier realización de $(\bar{P},x)$
$$ D_{resid} = x - \frac{\bar{P} - r P_1 }{\gamma \sigma^2}. $$
Y lo que es aún más inteligente, señalan que, como $P_1$ se observa en en equilibrio, primero conjeturan que $P_1$ y
$$ \tilde{D}_{resid} = x - \frac{\bar{P} }{\gamma \sigma^2}. $$
son informativamente equivalentes. Entonces la condición de equilibrio se convierte en
$$ \frac{ r P_1(\bar{P}, x)}{\gamma \sigma^2}+ \frac{E[P_2|\tilde{D}_{resid}] - r P_1(\bar{P}, x)}{\gamma Var(P_2|\tilde{D}_{resid})} = \tilde{D}_{resid}. $$
Ahora las cosas son mucho menos tediosas y no hay constantes endógenas $A$ y $B$ para resolverlo. $E[P_2|\tilde{D}_{resid}]$ es una función afín de $\tilde{D}_{resid}$ y $Var(P_2|\tilde{D}_{resid})$ es una constante exógena. De modo que $P_1(\bar{P}, x)$ puede ser retirado inmediatamente. Desde $P_1$ es una función afín de $\tilde{D}_{resid}$ se verifica a posteriori que son informativamente equivalentes.
Pregunta
Para que el comerciante desinformado $U$ de la demanda residual, se utiliza la hipótesis del conocimiento común. O, al menos, $U$ sabe que $I$ sabe para que $U$ puede ponerse en $I$ 's shoes and compute $I$ de la demanda.
Sin embargo, la reunión de los conjuntos de información no aparece en ninguna parte, como debería. Resultado de $U$ 's cálculos deben ser medibles con respecto a la reunión. Si hay que formular esto matemáticamente, ¿dónde aparecería?
