Opción en futuro de bono - ¿hay alguna representación de caplet disponible?

Question

Estoy tratando de jugar con opciones de futuros de bonos. Un futuro de bonos es un contrato de futuro sobre una cesta de bonos. El lado corto entregará el llamado bono más barato para entregar (CTD).

Por lo tanto, una opción de futuro de bonos es una opción sobre esta cesta. Simplifiquemos las cosas de la siguiente manera:

• la opción se realiza directamente sobre el CTD;
• el CTD es un bono cupón cero;
• la opción es europea, $t < T_{opt} \leq T_{for} < T_{ctd} $ por lo tanto pagando en la expiración de la opción $T_{opt}$:

$$ \left( P(T_{opt},T_{for},T_{ctd}) - K \right)^+ $$

donde: $T_{for}$ es la madurez forward subyacente, $T_{ctd}$ es la madurez del bono CTD y $P(T_{opt},T_{for},T_{ctd})$ es el valor $T_{opt}$ del forward de bonos venciendo en $T_{for}$.

Si $T_{opt} \equiv T_{mat} = T$ entonces la opción de futuro de bonos se reduce a una opción estándar sobre el bono CTD, pagando en $T$:

$$ \left( P(T,T_{ctd}) - K \right)^+ $$

donde $P(T,T_{ctd}) $ es el precio en la fecha futura $T$ del bono CTD y he aplicado la identidad $P(T_{opt} = T,T_{for} = T,T_{ctd}) \equiv P(T,T_{ctd})$.

Ahora, se conoce la representación de caplet (o floorlet) para opciones sobre bonos (zero-coupon) (ver, por ejemplo, ecuación 2.26 de Brigo-Mercurio "Interest Rate Models - Theory and Practice: With Smile, Inflation and Credit").

Mi pregunta es: ¿existe alguna representación similar para opciones de futuros de bonos en términos de opciones sobre las tasas forward?

Gracias de antemano. gab

---

Adenda: si ayuda, la relación entre el bono y la tasa forward es (debería ser ;) ):

$$ P(t,T_{for},T_{ctd}) = \frac{1}{1 + \tau(T_{for},T_{ctd}) F(t,T_{for},T_{ctd})} $$ donde $F(t,T_{for},T_{ctd})$ denota el valor en el tiempo $t$ de la tasa forward para el período de devengo $[T_{for};T_{ctd}]$.

Answer 1

Debería haber un resultado análogo para las opciones en la compra de un bono cupón cero forward, como sigue. El pago de una K-call, pagado en $T_{for}$ (no en $T_{opt}$) es $$[P(T_{opt},T_{for},T_{ctd})K]^+$$ También tenemos que $$P(T_{opt},T_{for},T_{ctd})= 1/(1+\tau F(T_{opt},T_{for},T_{ctd}))$$ donde $\tau$ es el factor de acumulación entre $T_{for}$ y $T_{ctd}$, y $F$ es la tasa de interés forward observada en $T_{opt}$. Combinando estas expresiones, obtenemos que el pago en $T_{for}$ es igual a $$[1-K(1+\tau F)]^+/(1+\tau F)$$ Al reinvertir esta cantidad a $T_{ctd}$ al ritmo forward del mercado $F$, vemos que el pago en $T_{ctd}$ es simplemente $$[1-K(1+\tau F)]^+$$ que es igual a $$K\tau[(1-K)/K\tau-F]^+$$. Este es el pago de un piso en la tasa forward, pactado en $(1-K)/K\tau$. Del mismo modo, un put en el ZCB forward es equivalente a un cap en la tasa forward.