Derivación de la ecuación de Euler

Question

Quiero derivar la ecuación de Euler para lo siguiente:

$$max \sum\limits_{t=0}^{T} = \beta^{t}U(C_t)$$

$$s.t. C_t+K_{t+1} \leq f(K_t) , t=0,1,2,...,T-1$$ $$-K_{T+1} \leq 0$$

Estoy un poco confundido sobre por qué el F.O.C. tiene eso:

$$\frac{d\mathcal{L}}{dK_{t+1}}=-\lambda_t+\lambda_{t+1}f'(k_{t+1})$$

y cómo combinamos el F.O.C para obtener la ecuación de Euler:

$$U'(C_t)= \beta U'(C_{t+1})f'(k_{t+1})$$

Asumo que el F.O.C. con respecto a la $K_{t+1}$ es tal debido a la inclusión de la forma intensiva de la función de producción pero no estoy exactamente seguro de cómo y realmente quiero entender esto completamente. También necesito asegurarme de que entiendo cómo estamos utilizando la FOC para producir la ecuación de Euler. ¿Puede alguien aclararme un poco la situación?

Answer 1

El problema completo es $$\max_{\{C_t,K_{t+1}\}_0^{\infty}} \sum\limits_{t=0}^{T} \beta^{t}U(C_t)$$

$$s.t. \;\;C_t+K_{t+1} \leq f(K_t) , t=0,1,2,...,T-1,\;\;\;\; -K_{T+1} \leq 0$$

Así que maximizamos también con respecto a consumo . El lagrangeano es

$$\mathcal L = \sum\limits_{t=0}^{T} \Big(\beta^{t}\big[U(C_t) + \lambda_t\big(f(K_t) - C_t-K_{t+1}\big)\big]\Big) $$

Nótese que el factor de descuento descuenta también la restricción. Entonces

$$\frac{d\mathcal{L}}{dC_t}= \beta^{t}\big(U'(C_t)- \lambda_t\big) = 0 \implies U'(C_t) = \lambda_t$$

y así también $U'(C_{t+1}) = \lambda_{t+1}$

Además,

$$\frac{d\mathcal{L}}{dK_{t+1}}=-\beta^t\lambda_t+\beta^{t+1}\lambda_{t+1}f'(k_{t+1}) = 0 \implies -\lambda_t+\beta\lambda_{t+1}f'(k_{t+1}) = 0$$

Combinando y reordenando, se obtiene la ecuación de Euler.

Answer 2

La pregunta es bastante sencilla, y no es necesario el primer paso que tienes. Usted tiene (por alguna razón) un multiplicador diferente aquí para cada período de tiempo. Ese no es el caso, simplemente tienes una condición de no-ponzi, también conocida como una restricción de transversalidad. El problema se expresa como $max\,\sum\beta^{t}U(c_{t})$ $c_{t}+k_{t+1}\leq f(k_{t})$ . La corriente de utilidad para el agente es $U=\sum\beta^{t}U(c_{t})=U(c_{0})+....\beta^{t}U(c_{t})+\beta^{t+1}U(c_{t+1})+...+\beta^{T}U(c_{T}).$

Sustituir en $f(k_{t})-k_{t+1}$ para $c_{t}$ . Entonces, derivamos wrt $k_{t+1}$ y se establece igual a 0: $\frac{\partial U}{\partial k_{t+1}}=\beta^{t}U'(c_{t})-\beta^{t+1}U'(c_{t+1})f'(k_{t+1})=0\Rightarrow U'(c_{t})=\beta U'(c_{t+1})f'(k_{t+1}).$

No necesitas la otra ecuación a la que te refieres.

Answer 3

No estoy seguro de entender del todo tu pregunta, pero lo intentaré.

Si te confundes con la primera FOC que has escrito (parece correcta): Ya no tienes sólo una restricción, como puedes estar acostumbrado de los cursos básicos de economía. Tienes T restricciones, la restricción una vez para cada período de tiempo. Por lo tanto tienes t multiplicadores de Lagrange Lambda. Escribe la restricción, por ejemplo, para tres t y verás lo que quiero decir. Tu restricción es algo así como lammbda_t*(C_t + Kt+1 - f(Kt)) + lambda_t+1*(C_t+1 + Kt+2 - f(Kt+1)) + lambda_t+2*(C_t+2 + Kt+3 - f(Kt+2)) y así hasta T.

Ahora para obtener la ecuación de Euler: Si tomas la derivada de esta con respecto a K_t+1 obtendrás tu FOC allí. (Este es el FOC para todo el Lagrangiano, porque la derivada de U(C) con respecto a K es 0 aquí, ya que cualquier dependencia de C en K ya está en la restricción).

Su ecuación de Euler implica 3 variables desconocidas: Ct, Ct+1 y Kt+1. Por lo tanto, necesitarás tres BDC. El número máximo de FOCs que tienes aquí es 2T (T veces por cada C y T veces por cada K).

Como ves, el FOC que ya tienes tiene 2 cosas que quieres eliminar lambda_t y lambda_t+1. También quieres meter las utilidades marginales de C_t y C_t+1. Así que toma una derivada con respecto a Ct y Ct+1 de tu lagrangiano. Pista: Una de ellas será ß^t * U'(Ct) - lambda_t = 0.

Junta ahora esas 3 ecuaciones, elimina las lambdas y deberías obtener tu ecuación de Euler.

Answer 4

No existe una restricción de endeudamiento de periodo a periodo. Sólo tiene una condición de transversalidad. Sin embargo, la restricción será vinculante si tiene condiciones Inada, en cuyo caso no necesito los multiplicadores.

Answer 5

La respuesta de Alecos Papadopoulos es excelente, pero tengo una pequeña corrección (quería ponerla como comentario, pero desgraciadamente este foro exige más reputación para comentar que para responder... curioso).

No es necesario multiplicar las restricciones por el factor de descuento. La página web $\lambda_t$ se reescalaría por un factor $1/\beta^t$ pero al resolver el $\lambda_t$ se obtendría exactamente la misma solución.