Implicación de la concavidad de u

Question

Supongamos que tenemos la siguiente desigualdad:

$u( y- d) - u(y-d') \ge u(y' - d) - u( y' -d')$.

La concavidad de $u$ junto con $y\le y'$ implica entonces que $d \le d'$.

A veces me encuentro con este problema en documentos económicos, pero no entiendo la lógica detrás de esto. ¿Alguien puede explicarlo?

Answer 1

Creo que tienes mal el signo de desigualdad. La desigualdad como la escribes no puede mantenerse. Para ver esto, considera el caso numérico donde $y=4 > y'=3, d=1 < d'=2$ y $u= \sqrt(x)$. Te dejo hacer el cálculo tú mismo.

Supongo que la desigualdad correcta es: \begin{equation} u(yd)u(yd') \leq u(y'd)u(yd) \end{equation}

Esta ecuación es verdadera debido a la curvatura de una función cóncava. Si estás en la parte ascendente de la función, cuanto más cerca estés de la cima, más plano es el pendiente. Así que la distancia vertical entre las imágenes de los dos puntos en el dominio en el lado izquierdo de la ecuación es más pequeña que la misma en el lado derecho si $y>y'$ y $d \leq d'$, e igual si $y=y'$. En la parte descendente es al revés. El conjunto de condiciones de desigualdad se implican mutuamente. Cambiar una desigualdad requiere cambiar las demás. Puedes comprobar esto por ti mismo eligiendo puntos en una curva cóncava que satisfagan las desigualdades.

Realmente es solo una versión elaborada de $|x| \leq |y|$, donde si $x \leq 0, y \leq x$ y si $x \geq 0, y \geq x$. Espero que esto responda tu pregunta.