Límite de esta secuencia // amplitud de entradas

Question

Que haya una medida unitaria de los insumos. Definir por $C_i = \left[\int_0^i c(i)^{1-\alpha}\right]^\frac{1}{1-\alpha}$ un índice de coste de utilización de hasta $i$ como entrada.

Discreto $c(i)$ por $c_0, \dots c_i, \dots c_I$ . Por ejemplo $c_i = 1 \,\forall i$ y $\alpha = 0.5$ . Sea $I = 5$ . Para aproximar la integral, simplemente sumo los términos y divido por $I$ .

Entonces tenemos $C_1 = (\frac{2}{5}\sqrt 1)^2$ , $C_2 = (\frac{3}{5}\sqrt 1)^2$ etc. Así que esta es una secuencia creciente, y $C_1 = 4/25=0.16$ .

Ahora necesito el caso de la esquina, $C_0$ . $C_0$ sólo utiliza $c(0)$ como entrada, por lo que pensaría que

$$ C_0 = (c(0)^{1-\alpha})^\frac{1}{1-\alpha} = 1$$

Pero está claro que no puede ser el límite de la secuencia discretizada, ya que $\lim\limits_{i\to 0} C_i \to 0$ .

Entonces, a medida que disminuye la variedad de insumos, el índice de costes disminuye, hasta que sólo se tiene una variedad, y entonces explota? ¿Podría alguien arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

Creo que la discretización adecuada debería ser algo así como $$C_i=\left[\int_0^i\!c(i)^{1-\alpha}\,di\right]^{\frac{1}{1-\alpha}}=\lim_{I\rightarrow\infty}\left[\sum_{j=0}^{(I-1)i}\frac{1}{I}c\left(\frac{j}{I}\right)^{1-\alpha}\right]^{\frac{1}{1-\alpha}}$$

La siguiente figura ilustra de dónde proviene cada término de la suma (para el caso de $I=5$ )

(La razón por la que la suma sube a $(I-1)i$ es que empezamos a contar desde $j=0$ y quieren tener $I$ contenedores en total).

En su ejemplo con $c(i)=1$ y $\alpha=1/2$ esto daría como resultado $$\left[\sum_{j=0}^{(I-1) i}\frac{1}{I}\sqrt{1}\right]^2=\left[I i\frac{1}{I}\sqrt{1}\right]^2=i^2.$$ Podemos comparar esto con el valor real de $C$ : $(\int_0^i\!\sqrt{1}di)^2=i^2$ . Así, este ejemplo particular es especial porque la aproximación discreta da una expresión exacta para la integral incluso sin tomar el límite. La razón de esto es que $c(i)=1$ es una función constante por lo que una aproximación rectangular de las áreas por debajo de ella es perfecta para cualquier número/tamaño de rectángulos de Rieman.

Pero supongamos que tomamos $c(i)=i^2$ . Entonces tenemos $(\int_0^i\!\sqrt{i^2}di)^2=i^4/4$ y $$\left[\sum_{j=0}^{(I-1) i}\frac{1}{I}\sqrt{\frac{j^2}{I^2}}\right]^2=\frac{(I-1)^2 i^2 (1-i+I i)^2}{4 I^4}.$$ En el límite esta aproximación converge al valor verdadero: $$\lim_{I\rightarrow\infty}\frac{(I-1)^2 i^2 (1-i+I i)^2}{4 I^4}=\frac{i^4}{4},$$ pero para el finito $I$ la aproximación es imperfecta.