Estrategias de arbitraje en el árbol binomial de Rubinstein de un paso

Question

Supongamos que el precio actual de las acciones es $S_0=20$ y el precio de la opción de compra sin arbitraje es $c=0.633$ . Sabiendo que el precio de las acciones al vencimiento puede ser $S_T=22$ con el precio de la opción de compra $1$ o $S_T=18$ con el precio de la opción de compra $0$ , cuyas estrategias pueden realizarse si la opción de compra actual es $>0.633$ y $<0.633$ ?

Pensé que si era $c=0.62$ , ahora podría:

1. comprar la llamada en $c$
2. vender $=0.25$ acciones en $S_0$
3. invertir $S_0\Delta-c$ al tipo libre de riesgo $r=$ 12% para $3$ meses.

Pero, ¿qué medidas tengo que tomar al expirar? Teniendo en cuenta que tengo que devolver las acciones y puedo cobrar el beneficio $(S_0\Delta-c)e^{rT}$ .

Y si fuera $c=0.65$ ?

Answer 1

Comprobemos primero que 0,633 es el precio de la opción de compra. La probabilidad neutra de riesgo $p^*$ de una subida de la acción se calcula suponiendo que la acción obtiene una tasa de rendimiento sin riesgo: $$20 = e^{-0.03}(22p^* + 18(1-p^*)) \qquad \Rightarrow \qquad p^* = 0.65227.$$ El precio de la opción es la retribución esperada neutra al riesgo, descontada al tipo libre de riesgo. En este caso, la opción tiene un beneficio 1 en caso de subida y un beneficio 0 en caso de bajada, por lo que $$c = e^{-0.03}p^* = 0.633.$$ El ratio delta-hedge necesario para una cartera de réplica es la relación entre la variación del precio de la opción y la variación del precio de la acción: $$\Delta = \frac{1 - 0}{22-18} = 0.25.$$ Si la opción cotiza a $C < 0.633$ entonces debería ser capaz de capturar el $0.633 - C$ de la estrategia de compra-barata-venta-carga:

1. Compre la opción en $C$
2. Vender $\Delta = 0.25$ acciones de la acción

Si $C = 0.62$ y luego vender $\Delta$ acciones y la compra de la opción le da una posición inicial en efectivo de $$0.25*20 - 0.62 = 4.38,$$ que crece hasta $4.38e^{0.03} = 4.5133$ a su vencimiento. Consideramos ahora dos casos:

1. $S_T = 22$ la opción tiene una rentabilidad de 1, y la posición corta tiene una rentabilidad de $-0.25*22 = -5.50$ por lo que la recompensa total es $1 - 5.50 + 4.5133 = 0.0133$ .
2. $S_T = 18$ la opción tiene una rentabilidad de 0, y la posición corta tiene una rentabilidad de $-0.25*18 = -4.50$ por lo que la recompensa total es $0 - 4.50 + 4.5133 = 0.0133$ .

Si la opción cotiza a $C > 0.633$ Entonces, vuelve a emplear la estrategia de comprar, engañar y vender. El punto principal es que usted puede completamente replicar el pago de la opción utilizando sólo una cartera de acciones y efectivo; por la ley de un precio, el efectivo requerido para establecer la cartera de réplica es el precio de la opción.