¿Cómo obtener numéricamente el delta?

Question

En delta en la valoración de opciones, también llamado ratio de cobertura se expresa como la sensibilidad del precio de la opción a la variación del precio del subyacente.

En solución analítica de los modelos de valoración de opciones más habituales, como el Black-Scholes, el de Corrado y Su, y otros marcos, pueden encontrarse en Internet o en libros.

Sin embargo, estoy tratando con un modelo más complejo cuya solución analítica no es tan evidente y, por lo tanto, queremos obtener el delta (y más adelante también las otras griegas) mediante un método numérico.

Hasta ahora no he encontrado una forma adecuada de hacerlo. Más concretamente, al calcular simplemente el gradiente del precio Call con respecto al precio Spot subyacente, obtengo valores diferentes a los de la solución analítica -- En el caso del modelo Black-Scholes.

¿Puede alguien explicar por qué el gradiente no es igual al delta y cuáles son las alternativas numéricas para esta cuestión?

Answer 1

En efecto, éste es un asunto complicado.

Como dices es una forma de calcular la delta por una fórmula analítica, es decir, calcular la primera derivada de la opción de la fórmula de fijación de precios que se utiliza con respecto a la base del precio spot.

La segunda manera es hacerlo de forma numérica, es decir, cambiar el precio de contado por un pequeño valor de $dS$, calcular el valor de la opción y, a continuación, calcular la delta como el cociente de la diferencia: $delta = \frac{V(S+dS)-V(S)}{dS}$.

Al cambiar el precio spot y el cálculo de $V(S+dS)$ hay dos posibilidades:
1. cambio de precio de contado por $dS$, todos los demás parámetros (incluyendo la volatilidad) permanecer sin cambios, entonces el precio de la opción y de calcular la delta como se muestra arriba.
2. cambio de precio de contado por $dS$, tomar la volatilidad de la volatilidad de la superficie, entonces el precio de la opción y de calcular la delta como se muestra arriba.

Qué método es el mejor, depende mucho de la dinámica de la volatilidad de la superficie y muchas sutilezas han de ser tomadas en consideración aquí. Esto también está relacionado con el llamado Pegajosa Delta vs Pegajosa Huelga problema y no hay una correcta solución de todos los tiempo.

Para una buena introducción a ver aquí:
Risa en la Oscuridad - El Problema de la Volatilidad Sonrisa por Emanuel Derman y especialmente
Los regímenes de Volatilidad por el mismo autor.

Answer 2

Puede darse el caso con ciertos exóticos de que las griegas se deriven analíticamente mediante aproximaciones. En ese caso, en determinados límites se pueden obtener resultados diferentes con dicha aproximación que con la aproximación numérica. ¿Por qué no abordan el caso numérico de forma similar a la mayoría de los bancos y fondos de cobertura cuando "sacuden" sus libros de opciones? Simplemente desplaza tu subyacente, recalcula el precio de la opción, deriva un factor de ajuste de convexidad, y a partir de ambos aproxima tu delta.