función de utilidad separable y efecto de precios cruzados

Question

Supongamos que la función de utilidad del consumidor para tres bienes es separable, es decir
$U(x_1, x_2, x_3) = f_1(x_1) + f_2(x_2) + f_3(x_3)$ ...(i)
donde $f_i$ es creciente y estrictamente cóncavo, i=1,2,3. Demuestre que

• $ df_i/dP_1 $ para i = 2,3 pueden ser positivos o negativos, pero deben ser del mismo signo cuando $f_i$ es la función de demanda del bien i y $P_1$ es el precio del bien 1.

razoné utilizando el principio equimarginal donde en el óptimo debemos tener
$ MU_1/P1 = MU_2/P2 = MU_3/P3 $ .
supongamos que el bien 1 es normal, si $P_1$ aumenta la demanda de la mercancía 1 disminuye, es decir $df_1/dP_1$ < 0. Debido a la ley de la utilidad marginal decreciente $MU_1$ sube, sin embargo para mantener el equilibrio $ MU_2, MU_3$ también debe subir. Así que, $df_2/dp_1 < 0$ y $ df_3/dP_1 < 0$ . Pero no pude hacerlo más matemáticamente, tomando la derivada de (i) con respecto a $P_1$ no es de mucha utilidad, por favor, ayuda.

Answer 1

El siguiente argumento supone que sólo se trata de soluciones interiores. Sea $(x_1,x_2,x_3)$ sea un conjunto óptimo de demanda a precios $(p_1,p_2,p_3)$ e ingresos $m$ y asumir que $(x_1,x_2,x_3)$ es un paquete de demanda óptimo a precios $(p_1',p_2,p_3)$ e ingresos $m$ . Queremos demostrar que se cumple uno de los tres casos siguientes:

1. $x_2=x_2'$ y $x_3=x_3'$ ,
2. $x_2<x_2'$ y $x_3<x_3'$ o
3. $x_2>x_2'$ y $x_3>x_3'$ .

Lo que no se permite es que $x_2\leq x_2'$ y $x_3>x_3'$ o $x_2>x_2'$ y $x_3\leq x_3'$ . Supongamos que se da uno de estos casos, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que es el primero.

Por la estricta concavidad de $f_2$ y $f_3$ tenemos $$MU_2(x_1,x_2,x_3)=\frac{\partial f_2(x_2)}{\partial x_2}\geq \frac{\partial f_2(x_2')}{\partial x_2}=MU_2(x_1',x_2',x_3')$$ y $$MU_3(x_1,x_2,x_3)=\frac{\partial f_3(x_3)}{\partial x_3}< \frac{\partial f_3(x_3')}{\partial x_3}=MU_3(x_1',x_2',x_3').$$ Por lo tanto, $$\frac{MU_2(x_1',x_2',x_3')}{p_2}\leq\frac{MU_2(x_1,x_2,x_3)}{p_2}=\frac{MU_3(x_1,x_2,x_3)}{p_3}<\frac{MU_3(x_1',x_2',x_3')}{p_3},$$ en contradicción con el principio de equimarginalidad.