Buenas noches,
Actualmente estoy trabajando en el siguiente problema y me gustaría una opinión al respecto,
Consideremos el modelo Black-Scholes con volatilidad (variable en el tiempo), $\sigma = \sigma(t)$ y la tasa de rendimiento libre de riesgo (variable en el tiempo), $r=r(t)$ .
$$ V_t + \frac{\sigma^2(t)}{2}S^2 V_{SS} + r(t)V_S-r(t)V = 0 \space, \space S>0,\space 0<t<T $$
Y la siguiente condición final: $$V(S,T) = \phi(S)\space , \space S>0$$ donde $\phi$ representa el pago de la opción.
Empecé por considerar el siguiente cambio de variable, $$ S = e^x$$ $$ t = T - \theta $$ Esto me permitió considerar las siguientes funciones:
$$ U(x,\theta) = V(e^x,T-\theta) \space,\space \hat\sigma(\theta) = \sigma(T-\theta) \space,\space \hat r(\theta) = r(T-\theta) $$ Esto también convirtió mi condición final en una condición inicial, $U(x,0) = \phi(e^x) $ y derivé la siguiente transformación.
$$ U_{\theta} = \frac{\hat\sigma^2(\theta)}{2}U_{xx} + \Big(\hat r(\theta) - \frac{\hat\sigma^2(\theta)}{2}\Big)U_x - \hat r(\theta)U \space,\space x \in \mathbb{R} \space,\space 0 < \theta < T $$
Entonces, introduje una nueva variable temporal, $$ \tau(\theta) = \frac{1}{2} \int_{0}^{\theta} \hat\sigma^2(\xi)d\xi$$ He conseguido demostrar que esta función es una biyección de un intervalo $[0,T]$ a un intervalo $[0,\Upsilon]$ . Por lo tanto, $\tau$ es invertible y podemos tener $\theta = \theta(\tau)$
Con esta nueva variable temporal, he definido las siguientes funciones, $$ R(\tau) = \hat r(\theta(\tau)) \space,\space \Sigma(\tau) = \hat\sigma(\theta(\tau))$$ Lo que me permitió definir $$ k(\tau) = 2 \frac{R(\tau)}{\Sigma^2(\tau)} $$
Dado $u(x,\tau) = U(x,\theta(\tau))$ He deducido la siguiente ecuación nueva, $$u_{\tau} = u_{xx} + (k(t)-1)u_x -k(t)u \space,\space x \in \mathbb{R} \space,\space 0 < \tau < \Upsilon $$
A continuación, he definido el siguiente "factor de actualización", $$d(\tau) = e^{{\int_{0}^{\tau}k(\xi)d\xi}} $$ y una nueva función $$ v(x,\tau) = d(\tau)u(x,\tau) $$ Esta nueva función me permitió derivar la siguiente transformación, $$v_\tau = v_{xx} + (k(t)-1)v_x \space,\space x \in \mathbb{R} \space,\space 0 < \tau < \Upsilon $$
A continuación, resolví el siguiente problema PDE,
$$ \psi_\tau = (k(t)-1)\psi_x \space,\space x \in \mathbb{R} \space,\space 0<\tau<\Upsilon $$ $$ \psi(x,0) = x $$
Este problema tiene la siguiente solución, $$\psi(x,\tau) = x + \int_{0}^{\tau} k(\xi)-1 d\xi $$
Con este $\psi$ solución, con $\psi = y$ He hecho una nueva transformación con la siguiente función, $$v(x,\tau) = w(\psi(x,\tau),\tau) $$ Esta transformación me permitió conseguir la ecuación del calor, $$w_\tau = w_{yy} $$ Con la condición inicial, $$w(y,0) = \phi(e^y)$$
Teniendo todas estas transformaciones y funciones, mi objetivo principal es resolver el primer problema, dada toda esta información anterior.
$$ V_t + \frac{\sigma^2(t)}{2}S^2 V_{SS} + r(t)V_S-r(t)V = 0 \space, \space S>0,\space 0<t<T $$ $$V(S,T) = \phi(S)\space , \space S>0$$
Mi pregunta es la siguiente: ¿debo empezar por resolver la ecuación del calor e invertir cada una de las transformaciones? ¿O hay una forma más sencilla de resolver esta ecuación de Black-Scholes?
Para que este post no sea el doble de largo, no voy a explicitar ningún razonamiento detrás de estas pruebas.
Estaba deseando tener alguna pista para tener un punto de partida, porque estoy realmente perdido en todo este "lío". Te agradezco mucho si has leído hasta aquí, y te pido disculpas por el largo post.
Gracias.
