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Apostar o no apostar

Su utilidad de tener $x$ dolares es $u(x)$ .

Hay una apuesta en la que las ganancias en dólares son una variable aleatoria, $Y$ . Se sabe que $E[u(Y)]>E[u(1)]$ Así que prefieres apostar a que te den un dólar por seguro.

Pero ahora se le ofrecen las siguientes opciones. Usted selecciona un número grande $T$ (que puede depender de la distribución de $Y$ ), y entonces podrá elegir entre dos opciones:

A. Recibir $T+1$ dólares.

B. Apuesta $T$ veces, donde todas las apuestas son estadísticamente independientes y se distribuyen como $Y$ .

Para qué funciones de utilidad $u$ ¿prefiere la opción B (para un $T$ )?

La utilidad esperada de la opción B es:

$$E\left[u\left(\sum_{t=1}^T Y_t\right)\right]$$

donde $Y_t$ son variables i.i.d. distribuidas como $Y$ . Así que la pregunta es en realidad: ¿para qué funciones es cierto que, para un tamaño suficientemente grande $T$ :

$$E\left[u\left(\sum_{t=1}^T Y_t\right)\right] > u(1 + T)\; ?$$

Una respuesta obvia es cuando $u(x)=x$ ya que en ese caso:

$$E\left[u\left(\sum_{t=1}^T Y_t\right)\right] = \sum_{t=1}^T E[Y_t] = T E[Y_t]$$

desde $E[Y_t]>E[u(1)]=1$ está claro que para un tamaño suficientemente grande $T$ :

$$T \cdot E[Y_t] > T + 1$$

¿Qué otras funciones de utilidad tienen esta propiedad?

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Rex Puntos 5812

Creo que la respuesta depende del espacio $Y$ viene de. Considere si $Y \in \{ 1, \frac{T+1}{T}+\epsilon \}$ , donde $\epsilon > 0$ y la probabilidad $p$ del mejor resultado es

$$p > \frac{T^2}{\epsilon T + 1}$$

(Que sólo viene de resolver:)

$$1\cdot (1-p) + \left(\frac{T+1}{T} + \epsilon \right)\cdot p > T+1$$

Entonces, no importa la función de utilidad que tengas, aversión al riesgo o amor al riesgo, siempre tomarás la apuesta (opción B).

¿Se refiere a tener algún tipo de restricción en $Y$ para esta pregunta? De lo contrario, tendríamos que considerar ambos $Y$ y $u$ para determinar si el jugador tomará la opción B.

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