Su utilidad de tener $x$ dolares es $u(x)$ .
Hay una apuesta en la que las ganancias en dólares son una variable aleatoria, $Y$ . Se sabe que $E[u(Y)]>E[u(1)]$ Así que prefieres apostar a que te den un dólar por seguro.
Pero ahora se le ofrecen las siguientes opciones. Usted selecciona un número grande $T$ (que puede depender de la distribución de $Y$ ), y entonces podrá elegir entre dos opciones:
A. Recibir $T+1$ dólares.
B. Apuesta $T$ veces, donde todas las apuestas son estadísticamente independientes y se distribuyen como $Y$ .
Para qué funciones de utilidad $u$ ¿prefiere la opción B (para un $T$ )?
La utilidad esperada de la opción B es:
$$E\left[u\left(\sum_{t=1}^T Y_t\right)\right]$$
donde $Y_t$ son variables i.i.d. distribuidas como $Y$ . Así que la pregunta es en realidad: ¿para qué funciones es cierto que, para un tamaño suficientemente grande $T$ :
$$E\left[u\left(\sum_{t=1}^T Y_t\right)\right] > u(1 + T)\; ?$$
Una respuesta obvia es cuando $u(x)=x$ ya que en ese caso:
$$E\left[u\left(\sum_{t=1}^T Y_t\right)\right] = \sum_{t=1}^T E[Y_t] = T E[Y_t]$$
desde $E[Y_t]>E[u(1)]=1$ está claro que para un tamaño suficientemente grande $T$ :
$$T \cdot E[Y_t] > T + 1$$
¿Qué otras funciones de utilidad tienen esta propiedad?