Regresión lineal frente a la optimización de la varianza media

Question

Supongamos que tengo n señales, que me gustaría ponderar linealmente y combinar para formar una señal agregada. Dos posibles formas de hacerlo basadas en datos históricos son:

1. Retroceder el n señales sobre los rendimientos históricos. Utilizar las betas estimadas a partir de la regresión como las ponderaciones de las señales.
2. Estimar una matriz de covarianza de las señales a partir de los valores históricos de las señales. Estimar los rendimientos futuros (media) de las señales a partir de los rendimientos históricos de las mismas. Realizar una optimización de la media-varianza y obtener las ponderaciones óptimas de las señales.

Entiendo las diferencias técnicas entre estos dos enfoques (diferentes funciones objetivas), pero estoy tratando de entender (en la práctica) cuál es un mejor enfoque, ya que empíricamente llegan a respuestas similares.

En ambos casos, se utiliza el rendimiento histórico de la señal para estimar el rendimiento futuro de la misma (por ejemplo, el impulso de los rendimientos de la señal). En ambos casos, se puede restringir la optimización para lograr diferentes objetivos (restringir las ponderaciones para que sean positivas, sumar a 1, etc.). El objetivo de la regresión lineal -pérdida al cuadrado- es algo similar al objetivo de la varianza media en el sentido de que se está maximizando el rendimiento. No estoy seguro de que la parte de la minimización de la varianza sea tan obvia

Parece que el enfoque de la varianza media es un poco más flexible, se puede desenredar los rendimientos esperados de las estimaciones de covarianza (o incluso no tener estimaciones de los rendimientos esperados - por ejemplo, la varianza mínima). Me pregunto si alguien tiene alguna idea

Answer 1

En un enfoque de regresión lineal se hace lo siguiente: $$ (X \beta - y)^2 \rightarrow Min $$ así intentas predecir algo. Su objetivo es cuadrático. Normalmente se añaden restricciones sobre $\sum \beta_i^2$ o $\sum |\beta_i|$ . Sin restricciones el estimador es: $$ \hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T y, $$ donde $X^T y$ tiene que ver con la covarianza de $X$ y $y$ y $(X^T X)^{-1}$ normaliza la co/varianza de $X$ . Este es el beta que todos conocemos de la escuela.

Así, podemos interpretar $(X^T X)^{-1}X^T = P$ como matriz y $\hat{\beta} = P y$ - lo que significa que tratamos de obtener la información de cuánto $X$ está ahí en $y$ . $P$ es el "extractor de información".

Finalmente la estimación $\hat{\beta} X = \hat{y}$ y ver cuánto de $y$ puede explicarse mediante el "extractor de información" y el valor de $X$ a $y$ . Esto tiene mucho que ver con una proyección sobre el espacio que abarca $X.$

En el caso de la optimización de la cartera, su problema es (tenga en cuenta que $1/2$ sólo está ahí para facilitar los cálculos posteriores) $$ \frac12 w^T \Sigma w -w^T \mu \rightarrow Min, $$ en el que tiene restricciones en $w$ , $\Sigma$ es positiva definida. $\Sigma$ puede ser la estimación del rendimiento de los activos $\Sigma = \frac{1}{n-1} R^TR$ donde $R$ son los rendimientos de los activos. Podemos seguir, por ejemplo Roncalli y encontrar la solución explícita en el caso de que no haya restricciones (comparable a la configuración anterior): $$ w = \Sigma^{-1} \mu, $$ lo que significa que $w_i$ su apuesta por el activo $i$ se rige por el valor esperado $\mu_i$ dividido por el riesgo. También podríamos decir que se trata de una proyección de $\mu$ en el espacio $\Sigma^{-1} = (\frac{1}{n-1} R^TR)^{-1}$ .

Como última idea: Si no nos importa el rendimiento absoluto pero queremos hacer un seguimiento del rendimiento $y$ y el objetivo es el error de seguimiento, entonces tratamos de encontrar pesos $w$ tal que $$ (Rw - y)^2 \rightarrow Min. $$ Así, en la configuración de la optimización del error de seguimiento se obtienen problemas que se ajustan bastante a la configuración de la regresión.