Resolución del modelo de Leeper (1991)

Question

Estoy intentando resolver una variación de Leeper's (1991) que se ocupa del FTPL. Esto es lo que he hecho hasta ahora:

La función de utilidad es $\log(c_t)+\delta\log(M_t/p_t)$ .

Obtengo dos condiciones de primer orden:

(1) $\frac{1}{R_t}= E_t \left[\frac{1}{\pi_{t+1}} \right]$ y

(2) $m_t = \delta c \left[ \frac{R_t}{R_t - 1} \right]$ .

Dónde $R_t$ es el tipo de interés nominal bruto, $\pi_t$ es la tasa de inflación bruta y $c$ el valor de estado estacionario determinista del consumo.

Supongamos que la autoridad monetaria sigue la siguiente regla:

$R_t = 0+ _t+ _t R_t$ , donde $_t = _1 _{t1} + _{1t}, |_1|<1$ .

La autoridad fiscal sigue:

$_t = _0 + b_{t1} + _t$ , donde $_t = _2 _{t1} + _{2t}$ .

Me cuesta ver cómo Leeper pudo tomar toda la información dada hasta ahora y producir las siguientes dos ecuaciones:

(3) $E_t \hat{}_{t+1} = \hat{\pi}_t + _t$

(4) $_1 \hat{}_t + \hat{b}_t + _2 \hat{}_{t1} - (^{1} )\hat{b}_{t1} + _3 _t + _t + _4 _{t1}=0$

donde las varphi son las constantes de estado estacionario:

$\varphi_1 = \frac{\delta c}{\bar{R} - 1} \left[ \frac{1}{\beta \bar{\pi}} - \frac{\alpha}{\bar{R} - 1} \right] + \frac{\bar{b}}{\beta \bar{R}}$

$\varphi_2 = - \frac{\alpha}{\bar{\pi}} \left[ \frac{\delta c}{\left(\bar{R} - 1\right)^{2}} - \bar{b} \right] $

$\varphi_3 = \frac{\delta c}{\left(\bar{R} - 1\right)^{2}}$

$\varphi_4 = - \frac{1}{\bar{\pi}} \left[ \frac{\delta c}{\left(\bar{R} - 1\right)^{2}} - \bar{b} \right] $

Nota: He podido resolver para (3); sin embargo, todavía no estoy seguro de por qué $\theta_t$ no tiene un sombrero encima. Si alguien puede guiarme sobre cómo llegar a (4), ¡lo agradecería mucho!

Answer 1

Tienes la restricción presupuestaria de flujo del gobierno (reescrita en términos reales):

$b_{t} + m_{t} + \tau_{t} = g + \frac{m_{t-1}}{\pi_{t}} + R_{t-1}\frac{b_{t-1}}{\pi_{t}}$ (1)

Ahora todo lo que hay que hacer es sustituir (2) y las reglas de la política (además, no creo que la función de utilidad de Leeper tuviera un $\delta$ pero eso no es importante) y linealizar. Es decir, linealizar:

$b_{t} +c[\frac{R_{t}}{R_{t}-1}] + (\gamma_{0} + \gamma_{1}b_{t-1} + \psi_{t}) = g +\frac{c[\frac{R_{t-1}}{R_{t-1}-1}]}{\pi_{t}} + (\alpha_{0} + \alpha_{1} \pi_{t-1} + \beta \theta_{t-1}) \frac{b_{t-1}}{\pi_{t}}$ (2)

Nota: He dejado algunos $R_{t}$ y $R_{t-1}$ pero también tendrás que sustituir la regla de política monetaria. Entonces todo lo que haces es una aproximación de Taylor alrededor del estado estacionario determinista. Sólo una advertencia, el álgebra será muy peluda, me tomó varios intentos para conseguirlo.

OP pidió algo más de lectura sobre este tema, así que voy a añadir una lista aquí:

[ 1 ] Loyo (1999), La paradoja del dinero suelto: Una hiperinflación fiscalista

[ 2 ] Woodford (1998), La deuda pública y el nivel de precios

[ 3 ] Woodford (2000), Fiscal Requirements for Price Stability

[ 4 Leeper & Leith (2016), Understanding Inflation as a Joint Monetary-Fiscal Phenomenon

Tengo muchos más, pero empieza con estos.