¿Es la volatilidad del patrimonio de un operador igual a la de los activos subyacentes negociados?

Question

Supongamos que un operador negocia con varios valores con diferentes volatilidades. El rendimiento de la cartera del comerciante sería la media ponderada de los rendimientos y el riesgo sería una función de las volatilidades y la correlación de los activos subyacentes, tal como establece la teoría moderna de la cartera. Supongamos también que el patrimonio total del comerciante también se registra diariamente y, por tanto, puede considerarse un "índice". ¿La volatilidad de este "índice", dada por la desviación típica de las variaciones de la riqueza del operador, sería la siguiente? $$Var(W)= \frac{\sum_i^n(W_i - \bar{W})^2}{n}$$ sea la misma que la volatilidad de los activos subyacentes dada por

$$Var(W)=\sum_i_iVar(P_i)+\sum_i \sum_j,ji_i_jCov(P_i,P_j)$$

Sé que sería diferente si el índice se negocia como los fondos de inversión cerrados. Pero, ¿y si el índice no se negocia y es simplemente un reflejo de las ganancias/pérdidas subyacentes?

Gracias.

Answer 1

Claro, la varianza de la riqueza total puede expresarse en términos de las varianzas y covarianzas de los precios de los activos. Si $$W = \sum_{i} \pi_i P_i$$ donde $\pi_i$ es el importe total en dólares invertido en el activo $i$ con precio $P_i$ . La varianza de la riqueza total es entonces $$Var(W) = \sum_i \pi_i Var(P_i) + \sum_i \sum_{j, j\neq i} \pi_i \pi_j Cov(P_i, P_j)$$ .

Editar:

También se puede expresar la varianza de la riqueza final en términos de la varianza de los rendimientos de los activos de la cartera. Si $W$ es la riqueza final y $W_0$ es la riqueza inicial, entonces $$W = R_P W_0$$ donde $R_P = 1 + r_P$ es la rentabilidad bruta de la cartera y $r_P$ la tasa de rendimiento. Si $w_i$ es el peso de la cartera del activo $i$ entonces $$r_P = \sum_i w_i r_i$$ y $$Var(r_P) = \sum_i w_i Var(r_i) + \sum_i \sum_{j,j\neq i} w_i w_j Cov(r_i, r_j).$$ Desde $Var(R_P) = Var(1+r_p) = Var(r_p)$ se puede utilizar para calcular la varianza de $W$ : $$Var(W) = W_0^2 \left( \sum_i w_i Var(r_i) + \sum_i \sum_{j,j\neq i} w_i w_j Cov(r_i, r_j) \right).$$