Interpretación de los gráficos de las funciones de utilidad Cobb-Douglas. Cómo varía el MRS a medida que variamos $\alpha$ ?

Question

Supongamos que tengo la siguiente función Cobb-Douglas $$U(x,y) = x^\alpha y^{1-\alpha} = 1$$ donde $\alpha \in [0,1]$ .

$$MRS = -\frac{U_x}{U_y} = - \frac{\alpha}{1-\alpha} \frac{y}{x}$$ $$\frac{\partial MRS}{\partial \alpha} = -\frac{1}{(1-\alpha)^2}\frac{y}{x}$$

Supongamos que tengo el siguiente conjunto de gráficos:

Aquí sólo elegí algunos valores. El rojo es $\alpha = \frac{1}{4}$ , el azul es $\alpha = \frac{1}{2}$ El negro es $\alpha = \frac{3}{4}$

Entiendo cómo la inclinación y la planicidad de las diferentes curvas cambian a medida que varío $\alpha$ . Pero estoy confundido en cuanto a lo que $\frac{\partial MRS}{\partial \alpha}$ me habla del gráfico. En particular, $\frac{\partial MRS}{\partial \alpha}$ depende de $\alpha$ . Así que aunque sé $\frac{\partial MRS}{\partial \alpha}$ me dice cuánto $MRS$ cambia a medida que cambio alpha....changing $\alpha$ cambia $\frac{\partial MRS}{\partial \alpha}$ ...¡así que estoy muy confundido!

Mi pregunta

¿Qué es? $\frac{\partial MRS}{\partial \alpha}$ ¿me hablas de la gráfica? Desde $\frac{\partial MRS}{\partial \alpha}$ depende de $\alpha$ ¿Cómo afecta esto a las cosas?

Answer 1

Si $\alpha$ aumenta, la utilidad pone más peso en el $x$ . Entonces debes renunciar a más $x$ para uno $y$ (para la misma utilidad). Su MRS, para una determinada $y$ aumenta en valor absoluto. Gráficamente:

Si se fija $y$ y $x$ la pendiente es menor para las $\alpha$ (tenga cuidado de cambiar sólo una cosa a la vez).

En cuanto a su problema de "bucle", mire la función $1/x$ la primera derivada es también una función de $x$ como el 2º y así sucesivamente. Lo que importa es el valor en una x particular.

Answer 2

Creo que es importante señalar que $MRS(x,y)$ es una función. Hay exactamente una curva de indiferencia que pasa por $(x,y)$ . $MRS(x,y)$ muestra la inclinación de esta curva en el punto $(x,y)$ . Entonces $\frac{\partial MRS(x,y)}{\partial \alpha}$ mostraría que la curva de indiferencia que pasa por $(x,y)$ obtiene en este punto si cambia el parámetro $\alpha$ .

Como ya dijo YM'fr en su respuesta, la interpretación de esto es cómo la tasa marginal de sustitución (la tasa a la que estaría dispuesta a comerciar) de un consumidor en posesión del paquete de bienes $(x,y)$ cambiaría.