Aversion al riesgo y convexidad de la curva de indiferencia

Question

Esta es una pregunta del examen CFA. Con respecto a la teoría de la utilidad, el inversor más averso al riesgo tendrá una curva de indiferencia con: (a) mayor coeficiente de pendiente (b) mayor convexidad La respuesta es A pero creo que B también es correcta. La función de utilidad está descrita por $U=E(r)-\frac{1}{2}A\sigma^2$ donde A es la medida de aversión al riesgo. Quiero entender esto matemáticamente. ¿Cómo deberíamos medir la convexidad? ¿Es solo la segunda derivada o la curvatura? ¿Y por qué es incorrecta B?

Answer 1

Al parecer, ambas opciones son correctas dada la función de utilidad específica media-varianza.

Usa $\mu$ para denotar el valor esperado. En el plano $(\sigma,\mu)$, una curva de indiferencia que representa un nivel de utilidad particular $\overline U$ está dada por \begin{equation} \overline U=\mu-\frac12 A\sigma^2. \end{equation} Aplicando diferenciación implícita, podemos obtener la pendiente de la curva de indiferencia como \begin{equation} \frac{\partial \mu}{\partial \sigma}=A\sigma, \end{equation} lo cual aumenta en $A$, el parámetro de aversión absoluta al riesgo. Esto muestra que la opción (a) es correcta.

Además, si medimos el grado de convexidad de la curva de indiferencia por el valor de su segunda derivada, obtendríamos \begin{equation} \frac{\partial^2\mu}{\partial \sigma^2}=A, \end{equation} lo cual también aumenta en $A$. Esto sugiere que la opción (b) también es correcta.

Esta conclusión parece consistente con el gráfico que muestras: dentro de la aversión al riesgo, las curvas de indiferencia con mayor curvatura también son las que tienen pendientes más empinadas.

Answer 2

Esto parece ser específico del examen de CFA y es una pregunta mal formulada. Primero, una curva de indiferencia para algún nivel fijo de utilidad se puede ver como una función que mapea $\sigma$ a $\mu$. En cualquier valor de $\sigma$, esta función tiene una pendiente (que está dada por $\sigma A$). Ningún economista llamaría a esto un "coefficiente de pendiente" en este contexto, ya que este término solo se usa en análisis de regresión. Segundo, la convexidad es una propiedad de una función, no una cantidad, por lo que tiene poco sentido usar el término "la mayoría de convexidad".

Si la segunda derivada (que es $A$) se usa como medida de "convexidad", entonces ambas respuestas A y B son correctas, lo cual no tiene sentido en el contexto de una pregunta de examen de elección única.

Si la curvatura de la función se utiliza como medida de "convexidad", entonces esta curvatura primero aumenta y luego disminuye en $A$, por lo que para un valor dado de $\sigma$ realmente puedes tener dos inversores con el primero teniendo un "coefficiente de pendiente" más alto pero una "convexidad" más baja que el segundo. Con esta interpretación, solo la respuesta A es correcta. Sin embargo, dudo que eso fuera lo que los autores del examen tenían en mente. Creo que es más probable que simplemente plantearon una pregunta estúpida.