Cálculo de la volatilidad anualizada de los rendimientos de las acciones

Question

Supongamos que tengo una secuencia de rendimientos mensuales de una acción, $r_1,r_2,\ldots$ . Supongamos además que se trata de una secuencia i.i.d. con segundos momentos finitos.

En todos los documentos, informes, notas de conferencias, etc., la volatilidad anualizada del rendimiento de esta acción se da como $\sigma(r_1)\sqrt{12}$ .

En cambio, si anualizo primero los rendimientos mensuales, es decir, si considero $(1+r_1)^{12}-1,(1+r_2)^{12}-1,\ldots$ , entonces obtengo $\sigma((1+r_1)^{12}-1) \approx 12\sigma(r_1)$ desde $(1+x)^{12}-1 \approx 12x$ .

Mi pregunta es ¿qué hay de malo en lo que estoy haciendo? ¿Es sólo una cuestión de convención que la gente utilice la primera fórmula para informar de la volatilidad anualizada?

Answer 1

Es indiferente que se trabaje con cifras anualizadas o no.

Si se trabaja con rendimientos logarítmicos mensuales $\{r_1,r_2,\cdots,r_{12}\}$ entonces el rendimiento del año es $R=r_1+r_2+\cdots+r_{12}$ . Suponiendo sólo que los rendimientos son i.i.d y la desviación estándar $\sigma$ existe, entonces la desviación estándar de la rentabilidad anual $R$ es $\sqrt {12} \sigma$ .

Si prefieres trabajar con rendimientos anualizados, entonces estás viendo $\{12 r_1,12 r_2,\cdots,12r_{12}\}$ . El rendimiento del año completo es $\frac{12r_1+12r_2+\cdots+12r_{12}}{12}$ que es la misma expresión que antes y su volatilidad es de nuevo $\sqrt {12} \sigma$ .

Answer 2

En realidad, lo que usted refiere como convenciones proviene de la suposición de que los rendimientos se rigen por una distribución normal. Si se considera una variable estocástica (serie temporal de una variable aleatoria) que se distribuye normalmente, se puede demostrar que la varianza de la distribución crece linealmente con el tiempo. Esto significa que si se pasa de una serie temporal de rendimientos de un día a una serie temporal de rendimientos de dos días, la varianza de esta última va a ser el doble que la de la primera.

$\sigma^2_{annual} = 12 \sigma^2_{month} $

Sin embargo, la desviación estándar (que es la estimación más sencilla de la volatilidad) de este último va a ser:

$\sigma_{annual} = \sqrt{12} \sigma_{month}$

La definición de desviación estándar, como root cuadrada de la varianza, es lo que hace que la industria financiera, en su conjunto, considere root cuadrada del tiempo (en comparación con la volatilidad diaria, por ejemplo) como la forma correcta de convertir a una volatilidad anual.