Derivada de integrales definidas - ¿Cómo llegó MWG a este resultado? Microeconomía

Question

Para un salario en función del beneficio: $w(\pi)$ y el beneficio $\pi \in [\pi_{min},\pi_{max}]$ El propietario de una empresa fija el salario mínimo para satisfacer la siguiente condición:

obs $e = \{e_l, e_h\}$ pero en este caso el esfuerzo es observable y contraíble, y $f(\pi|e)$ es el pdf de $\pi$ Así que..:

$$\min_{w(\pi)} \int^{\pi_{max}}_{\pi_{min}}w(\pi)f(\pi|e)d\pi$$ sujeta a la condición de participación del gestor: $$\int^{\pi_{max}}_{\pi_{min}}v(w(\pi))f(\pi|e)d\pi-g(e) = \bar{u}$$ después de hacer una optimización de lagrange F.O.C $$-f(\pi|e) + \gamma v'(w(\pi))f(\pi|e)=0$$

Lo que no entiendo exactamente es cómo el autor tomó la derivada del integrando y desapareció con los signos de la integral... ¿por qué funciona?

edit: Por si acaso, puedes encontrar esta situación en la página 480-481 de MWG, pero ocurre a menudo en microeconomía.

Answer 1

El problema de minimización $$\min_{w(\cdot)} \int^{\pi_{max}}_{\pi_{min}}w(\pi)f(\pi|e)d\pi$$ s.t $$\int^{\pi_{max}}_{\pi_{min}}v(w(\pi))f(\pi|e)d\pi-g(e) = \bar{u},$$ es evidentemente un problema de optimización de dimensión infinita. El BDC, a la Lagrange, proviene de la consideración estándar para tales problemas.

Para hacerlo más explícito, definamos las funciones objetivo y de restricción $\Phi$ y $G$ (en un espacio de funciones apropiado, digamos el espacio de Banach $C[\pi_{min}, \pi_{max}]$ ) por $$ \Phi(w(\cdot)) = \int^{\pi_{max}}_{\pi_{min}}w(\pi)f(\pi|e)d\pi $$ y $$ G(w(\cdot)) = \bar{u} - \int^{\pi_{max}}_{\pi_{min}}v(w(\pi))f(\pi|e)d\pi + g(e). $$ Entonces el problema es simplemente $$ \min_{w(\cdot)} \Phi(w(\cdot)) \;\; s.t. \;\; G(w(\cdot)) = 0, $$ que es un tipo de problema de optimización estándar sobre un espacio de dimensión infinita.

La FOC lagrangiana necesaria (como en el entorno de dimensión finita) sería $$ D_{w} \Phi + \lambda D_{w} G = 0, $$ donde $\lambda$ es el multiplicador de Lagrange. Aquí, la noción apropiada de la derivada $D_{w}$ es el Derivada de Frechet .

En este caso concreto, $\Phi$ es un funcional lineal. Al igual que en el entorno de dimensión finita, la derivada de un funcional lineal es ella misma, es decir $$ D_{w} \Phi = f, $$ y, un cálculo de integración por partes nos diría $$ D_{w} G = v'(w(\pi))f(\pi|e). $$ Así se llega al FOC $$ -f(\pi|e) + \gamma v'(w(\pi))f(\pi|e)=0. $$

...esta situación... ocurre a menudo en microeconomía.

Por "esto", te refieres a "resolver" tales problemas diferenciando bajo el signo de la integral y luego fijando el integrando igual a cero idéntico. Sí, este enfoque un tanto impreciso -con varias justificaciones de tipo manual- suele ser suficiente en contextos económicos.

Answer 2

Para tomar una derivada bajo la integral, me parece útil considerar el análogo discreto, es decir, tomar una derivada bajo la suma.

En lugar de tener $\pi\in[\pi_{min},\pi_{max}]$ Supongamos que $\pi$ toma valor de un conjunto discreto $\{\pi_1,\pi_2,\dots,\pi_n\}$ . Entonces el problema se convierte en \begin{equation} \min_{w(\pi_i)}\sum_{i=1}^nw(\pi_i)f(\pi_i|e)\quad\text{s.t.}\quad \sum_{i=1}^nv(w(\pi_i))f(\pi_i|e)-g(e)\ge \bar u. \end{equation} Ahora bien, si expandes el sumatorio en una lagrangiana, obtendrás \begin{multline} \min_{w(\pi_i)}\quad w(\pi_1)f(\pi_1|e)+\cdots+w(\pi_i)f(\pi_i|e)+\cdots+w(\pi_n)f(\pi_n|e)\\ -\gamma\biggl[v(w(\pi_1))f(\pi_1|e)+\cdots+v(w(\pi_i))f(\pi_i|e)+\cdots+v(w(\pi_n))f(\pi_n|e)\biggr.\\ \biggl.-g(e)-\bar u\biggr] \end{multline} A partir de aquí, debería ser obvio que la derivada con respecto a $w(\pi_i)$ es igual a \begin{equation} f(\pi_i|e)-\gamma v'(w(\pi_i))f(\pi_i|e). \end{equation} La expresión en MWG se obtiene ajustando la expresión anterior a $0$ y multiplicando ambos lados por $-1$ .

Answer 3

La respuesta del usuario Herr K. es muy sensata y, de hecho, es lo que el MWG p. 481 nota 6 sugiere hacer para obtener el f.o.c.

Pero este enfoque plantea la cuestión: Entonces, ¿por qué utilizamos las integrales en primer lugar, para luego abandonarlas por la formulación discreta?

Si nuestro problema se formula en términos de beneficios continuos, entonces los beneficios son una variable aleatoria continua, y considerando los casos "en cada nivel de $\pi$ por separado" (como escribe MWG en su nota a pie de página), no es posible porque hay incontablemente infinito "niveles de beneficio". MWG intenta rectificar esto escribiendo en la misma nota a pie de página

Para ser rigurosos, debemos añadir que cuando tenemos un continuo de posibles niveles de $\pi$ un esquema de compensación óptimo sólo tiene que satisfacer la f.o.c en un conjunto de niveles de beneficio que sea de medida completa.

Ahora bien, habría que decirnos cómo podemos obtener un "conjunto de medida completa" incluyendo en él un número finito de puntos de un conjunto que es incontablemente infinito (el continuo, eso sí).

Así que, una vez más: ¿por qué entonces formular el problema en términos continuos, sólo para cambiar la formulación a discreta con el fin de obtener la f.o.c? ¿Por qué no formular el problema en términos discretos desde el principio?

Además la descripción de la situación es

1. $\pi$ es una variable aleatoria
2. $w$ es una función de $\pi$
3. Queremos elegir el óptimo $w$

Pero 2. significa que $w$ es una variable aleatoria, por lo que el único significado 3. que puede tener es que lo que vamos a elegir es $w$ en función de $\pi$ no $w$ como un número. Porque si elegimos $w$ como un número, eliminamos esencialmente su dependencia de la variable aleatoria $\pi$ ...

...pero esto es exactamente lo que podemos hacer para llegar a la f.o.c. Así, tratar $w$ como variable de decisión independiente de $\pi$ . Queremos

$$\min_w \int_{\pi_{min}}^{\pi_{max}} w f(\pi\mid e)d\pi\,-\,\gamma \int_{\pi_{min}}^{\pi_{max}} v(w) f(\pi\mid e)d\pi\,.$$

Tome la derivada con respecto a $w$ y ponerlo a cero:

$$\int_{\pi_{min}}^{\pi_{max}} f(\pi\mid e)d\pi\,-\,\gamma \int_{\pi_{min}}^{\pi_{max}} v'(w) f(\pi\mid e)d\pi = 0.$$

Porque tratamos $w$ como variable de decisión independiente de $\pi$ Podemos sacarlo de la integral,

$$\int_{\pi_{min}}^{\pi_{max}} f(\pi\mid e)d\pi\,-\,\gamma v'(w)\int_{\pi_{min}}^{\pi_{max}} f(\pi\mid e)d\pi = 0.$$

Ambas integrales son ahora iguales a la unidad, ya que $f(\pi\mid e)$ es una densidad propia sobre el dominio específico, por lo que terminamos con

$$1\,-\,\gamma v'(w) = 0 \implies \gamma = \frac{1}{v'(w)},$$

...que es exactamente la solución que se puede encontrar en MWG p. 481. Así que esta f.o.c corresponde también a la descripción de un problema de optimización donde $w$ se presenta inicialmente como una función de $\pi$ y luego a resolver el problema tratando $w$ como si no fuera una función de $\pi$ .

Para recapitular:

1. Formulamos un problema sobre el continuo, y donde la variable de decisión es una función de una variable aleatoria.

2. Para llegar al f.o.c. o bien
   a) Abandonar la formulación del continuo y buscar una versión discreta o
   b) Abandonar la suposición de que la variable de decisión es una función de una variable aleatoria

Esta situación, bastante retorcida, merece alguna contemplación por parte de cualquier lector interesado, y a ello me remito. Ver también https://economics.stackexchange.com/a/231/61 .