Fórmula de la expectativa condicional. Relacionado con los Teoremas Fundamentales de la Valoración de Activos

Question

Dejemos que $\lambda$ sea una medida de probabilidad sobre $\Omega$ (finito), con filtración $\{\mathcal{F}_t\}$ . Definir $\nu(X) = \lambda\left(X\frac{d\nu}{d\lambda}\right)$ , donde $\frac{d\nu}{d\lambda}$ es una variable aleatoria, es decir $\nu(\omega) = \lambda(\omega)\frac{d\nu}{d\lambda}(\omega)$ , todos $\omega\in\Omega$ . Demostrar que $$E\nu[X|\mathcal{F_t}] = \frac{E_{\lambda}\left[X\frac{d\nu}{d\lambda}|\mathcal{F_t}\right]}{E_{\lambda}\left[\frac{d\nu}{d\lambda}|\mathcal{F}_t\right]}$$

Recordemos el segundo teorema fundamental de la valoración de activos $$\frac{d\nu}{d\lambda} = \frac{S_T^{0}}{\lambda(S_T^{0})}$$ si $S_T^{0}$ es una constante, entonces $$\frac{d\nu}{d\lambda} = 1 \ \ \Rightarrow \ \ \lambda = \nu$$ La fórmula de cambio de medida es $$E_{\nu}[X] = E_{\lambda}\left[X\frac{d\nu}{d\mu}\right]$$

Para alguna reivindicación alcanzable $X$ dejar $\phi$ ser una estrategia de autofinanciación que reproduzca $X$ entonces por el primer teorema fundamental de la valoración de activos $$V_t(\phi) = E_{\nu}\left[X\frac{S_t^{0}}{S_T^{0}} |\mathcal{F_t}\right]$$

Estoy bastante seguro de que el resultado se desprende de uno de estos teoremas fundamentales de la fijación de precios de los activos, pero no estoy seguro de a dónde ir desde aquí. Perdón por el comienzo desordenado, también si necesitas que escriba los tres teoremas fundamentales estaría encantado de hacerlo. Cualquier comentario o sugerencia es muy apreciada.

Solución alternativa - Para todos $\omega\in \Omega$ , dejemos que $\mathcal{F}_t(\omega) = \mathcal{F}_t$ sea el elemento de partición que contiene $\omega$ . Entonces

\begin{align*} E_{\nu}[X|\mathcal{F}_t](\omega) &= \frac{\sum_{\omega\in\mathcal{F}_t(\omega)} X(\omega)\nu(\omega)}{\sum_{\omega\in\mathcal{F}_t(\omega)} \nu(\omega)}\\ &= \frac{\sum_{\omega\in\mathcal{F}_t(\omega)} X(\omega)\lambda(\omega)\frac{d\nu}{d\lambda}(\omega)}{\sum_{\omega\in\mathcal{F}_t(\omega)}\lambda(\omega)\frac{d\nu}{d\lambda}(\omega)}\\ &= \frac{\left( \frac{\sum_{\omega\in\mathcal{F}_t(\omega)} X(\omega)\lambda(\omega)\frac{d\nu}{d\lambda}(\omega)}{\sum_{\omega\in\mathcal{F}_t(\omega)} \lambda(\omega)} \right )}{\left(\frac{\sum_{\omega\in\mathcal{F}_t(\omega)} \lambda(\omega)\frac{d\nu}{d\lambda}(\omega)}{\sum_{\omega\in\mathcal{F}_t(\omega)} \lambda(\omega)} \right )}\\ &= \frac{E_{\lambda}\left[X\frac{d\nu}{d\lambda}|\mathcal{F}_t\right](\omega)}{E_{\lambda}\left[\frac{d\nu}{d\lambda}|\mathcal{F}_t\right](\omega)} \end{align*}

Answer 1

Definamos $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{P}$ dos probabilidades equivalentes en un espacio filtrado $(\Omega,(\mathcal{F}_t)_{t\geq 0})$

Definamos $Z_T=\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}$ restringido a $\mathcal{F}_T$ eventos medibles.

Esto significa que para $X_T$ ser $\mathcal{F}_T$ medible que tenemos: $$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X_T] = \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[Z_TX_T\right]$$

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Dejemos que $t\leq T$ .

Queremos definir el cambio de medida de probabilidad en $\mathcal{F}_t$ . es decir, queremos encontrar $Z_t$ ser $\mathcal{F}_t$ medible tal que para $X_t$ ser $\mathbb{F}_t$ medible, tenemos:

$$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X_t]= \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[Z_tX_t\right]$$

Por definición de $Z_T$ y como $X_t$ también es $\mathcal{F}_T$ medible, tenemos: $$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[X_t]= \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[Z_TX_t\right]$$

es decir

para cualquier $X_t$ ser $\mathcal{F}_t$ medible tenemos $Z_t$ ser $\mathcal{F}_t$ medible tal que:

$$\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_T X_t]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_t X_t]$$

así que $Z_t = \mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_T|\mathcal{F}_t]$ por la definición de la expectativa condicional.

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Dejemos que $Y_T$ ser $\mathcal{F}_T$ medible, entonces queremos calcular $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_T|\mathcal{F}_t]$ .

Denotamos $Y_t = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_T|\mathcal{F}_t]$

Buscamos $Y_t$ tal que para cualquier $X_t$ ser $\mathcal{F}_t$ medible, tenemos :

$$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_TX_t]=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_t X_t]$$

Por definición de $Z_T$ tenemos $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_TX_t]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_TY_TX_t]$

Por definición de $Z_t$ tenemos $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_tX_t]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_tY_tX_t]$

por lo que tenemos:

$$\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_TY_TX_t]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_tY_tX_t]$$

y de nuevo por definición de la expectativa condicional, tenemos:

$$\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_TY_T|\mathcal{F}_t]=Z_tY_t$$

ahora podemos concluir usando la definición de $Y_t$ y $Z_t$ .

$$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[Y_T|\mathcal{F}_t] = \frac{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_TY_T|\mathcal{F}_t]}{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z_T|\mathcal{F}_t]}$$