Derivación de la condición de primer orden de Hansen y Singleton (1982)

Question

Hansen y Singleton (1982) consideran la maximización de la utilidad esperada,

\begin{align*} \max \mathbb{E} \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_t) \end{align*} con respecto a la restricción presupuestaria, \begin{align*} C_t + \sum_{j=1}^J P_{jt} Q_{jt} = \sum_{j=1}^J P_{jt} Q_{j, t-1} + W_t,\ t= 0, 1, \cdots, \end{align*} donde $C_t$ es el consumo en el momento $t$ , $P_{jt}$ es el precio de la seguridad $j$ en el momento $t$ , $Q_{jy}$ es la cantidad de seguridad $j$ en el momento $t$ , $J$ es el número de valores y $W_t$ es la renta laboral en el momento $t$ .

A continuación, muestran que la condición de primer orden es \begin{align*} P_{jt} = \mathbb{E} \bigg[ \beta \frac{U'(C_{t+1})}{U'(C_t)} P_{j, t+1} \bigg],\ j = 1, \cdots, J. \end{align*}

Traté de verlo en el caso más simple, donde $t=1$ y maximizar $U(C_0) + \beta U(C_1)$ con el multiplicador de Lagrange, pero no pude conseguir la condición de primer orden similar. Esto parece ser un ejemplo canónico de GMM no lineal.

Answer 1

Esto no tiene nada que ver con el GMM, que es un método estadístico para estimar parámetros. Se trata de un modelo de macroeconomía o, digamos, de un problema de optimización dinámica.

De los BDC para $C_t$ , $C_{t+1}$ y $Q_{jt}$ , usted puede obtener $$\mathbb{E}\frac{\beta U'(C_{t+1})}{U'(C_t)} = \frac{\lambda_{t+1}}{\lambda_t}$$ y $$\lambda_t P_{jt} = \lambda_{t+1} P_{jt+1}$$ .

Entonces, sustituyendo $\lambda$ tienes $$P_{j t} U^{\prime}\left(C_{t}\right)=\beta \mathbb{E} \left[P_{j t+1} U^{\prime}\left(C_{t+1}\right)\right]$$ .