¿Cómo se obtiene la inclinación de la volatilidad implícita del modelo de árbol de Emanuel Derman?

Question

Estoy leyendo El documento de Emanuel Derman Patterns of Volatility Change . La sección, Volatilidad Implícita En El Modelo De Árbol Implícito Pegajoso tiene la aproximación lineal de sesgo cerca del antiguo subyacente $S_0$ $$\Sigma(S,K,t)=\Sigma_0-b(K+S-2S_0)$$

Un pasaje relacionado es

En la aproximación lineal del modelo de volatilidad local se puede escribir $\Sigma=f(S+K)$ con $\Sigma$ en función de $S+K$ .

Me pregunto cómo se derivan del modelo de árbol de volatilidad implícita, que creo que es la versión de árbol del modelo de volatilidad local. ¿Puede alguien aclarar esta cuestión?

Answer 1

Esto también se discute en el libro de Derman La sonrisa de la volatilidad (véase el capítulo 16). En concreto, aproximó la volatilidad local mediante una función lineal de la forma $$\begin{align*} \sigma(S) = \sigma_0 -2 b(S-S_0), \end{align*}$$ y luego se aproxima la volatilidad implícita $\Sigma(S, K)$ para una opción con strike $K$ por la media de $\sigma(S)$ entre S y K. Es decir, $$\begin{align*} \Sigma(S, K) &\approx \frac{1}{2}\big(\sigma(S) + \sigma(K) \big)\\ &=\sigma_0 -b(K+S-2S_0). \end{align*}$$ Esto también puede tratarse como $$\begin{align*} \Sigma(S, K) &\approx \frac{1}{K-S}\int_S^K\sigma(S')dS'\\ &= \sigma_0 -b(K+S-2S_0). \end{align*}$$ Véase la fórmula (14.16) en el libro citado.