Definición de conjuntos de información en modelos de expectativas racionales

Question

Estoy luchando con la noción de "conjuntos de información" en el contexto de los modelos de expectativas racionales en economía. He encontrado notas interesantes en la web ( http://www2.econ.iastate.edu/tesfatsi/reintro.pdf ) pero no estoy seguro de haber entendido bien el concepto. Permítanme explicar mis preocupaciones junto con el primer ejemplo en las notas dadas en el enlace.

Consideremos un pequeño modelo dado en las siguientes tres ecuaciones: $$ y_t =y_t^*+ap_{t-1}+b\mathbb{E}_{t-1}p_t\\ p_t =m_t+\varepsilon_t\\ \mathbb{E}_{t}p_{t+1}=\mathbb{E}(p_{t+1}\vert I_t)$$

donde

$y_t^*$ señala el logaritmo del PIB real potencial en el período $t$

$y_t$ denota el logaritmo del PIB real en el período $t$

$\mathbb{E}_{t}p_{t+1}$ denota la expectativa subjetiva a futuro de un agente representativo en el período $t$ sobre el nivel de precios en el periodo $t+1$

$m_t$ denota el logaritmo de la oferta monetaria nominal en el período $t$

$\varepsilon_t$ es un choque estocástico en el momento $t$

$I_t$ denota un conjunto de información del período-t que está disponible para el agente representativo al final del período $t$ .

Así que mi pregunta posiblemente estúpida es: ¿Qué es? $I_t$ o ¿cómo se define?

Para ser más preciso, permítanme resumir lo que pienso $I_t$ es.

En primer lugar, porque la mayoría de los economistas aplican la ley de las expectativas iteradas y otras proposiciones que pueden aplicarse a las expectativas condicionales, sugiero $I_t$ tiene que ser un $\sigma$ -Campo porque si no, no se podrían aplicar estas proposiciones.

Pero, ¿cómo es esto $\sigma$ -¿Campo definido?

Siguiendo las notas, Leigh Tesfatsion escribe que las ecuaciones más la clasificación de las variables y las condiciones de admisibilidad junto con los valores verdaderos de las variables a,b y el proceso exógeno determinista $(m_t)_{t \in \mathbb{N}}$ tienen que formar parte del conjunto de información, así como las propiedades de la distribución de probabilidad y las propiedades de los choques estocásticos $(\varepsilon_t)_{t\in \mathbb{N}}$ y los valores de las realizaciones pasadas de todas las variables.

Normalmente se supone que $\varepsilon=(\varepsilon_t)_{t\in \mathbb{N}}$ es un proceso estocástico definido en el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ . Por lo tanto, yo diría $I_{t}$ tiene que ser un $\sigma$ -Campo de trabajo $\Omega$ y por lo tanto tiene que ser un sistema de subconjuntos de $\Omega$ Por lo tanto, no puede incluir ecuaciones específicas, valores específicos de las variables ni clasificaciones de las variables, ¿o me equivoco?

Dejemos que $\mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\in \mathbb{N}}$ sea una filtración sobre $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , dado como $\mathcal{F}_t=\sigma(\{\varepsilon_s:s\leq t\})$ .

Pensé que $I_{t}$ para ser la historia del proceso estocástico, es decir $I_{t}=\mathcal{F}_{t}$ ¿es esto correcto?

Si no es así, ¿podría proporcionarme una definición (matemáticamente rigurosa) del conjunto de información $I_{t}$ o ¿podría proporcionarme alguna bibliografía relacionada con este tema?

Gracias de antemano

Frank

Answer 1

Dos notas.

A. El "condicionamiento de la información" siempre se ha aplicado en economía sin prestar mucha atención al rigor de la teoría de la probabilidad, porque tiene (de hecho) un sentido intuitivo muy fuerte: "basándome en la información que tengo (donde "información" significa aquí datos, algoritmos de procesamiento, composición psicológica, casi cualquier cosa) me formo de alguna manera a través de un proceso de caja negra una expectativa para el valor de alguna variable".

B. El condicionamiento se hace siempre con respecto a una sigma-álgebra. Pero en economía se acostumbra a escribir sólo el generador del sigma-álgebra, en nuestro caso $I_{t1,i}$ y esperar que se entienda como $\sigma\left(I_{t1,i}\right)$ . Así que todo lo que tienes que hacer es imaginar $I_{t1,i}$ como un conjunto que puede generar un álgebra sigma. En ese caso, cada elemento del conjunto puede ser realmente cualquier cosa.

Tenga en cuenta que el $\Omega$ en el espacio de probabilidad y las sigma-álgebras que pueden surgir de él pueden ser literalmente cualquier cosa . Restringimos $v$ sea una variable aleatoria, es decir, una función cuyo rango es algún conjunto numérico, como los Reales o los Naturales, pero el dominio de $v$ puede ser, de nuevo, literalmente cualquier cosa, y tan multidimensional y no numérica como queramos.

Answer 2

La "respuesta" a la pregunta original de este hilo se da brevemente en la página 2 de las siguientes notas citadas en esta pregunta, y se explica más detenidamente en el apéndice que aparece al final de estas notas:

Leigh Tesfatsion (Prof. of Econ, Iowa State University, Ames, IA 50011-1054) Última actualización: 29 de septiembre de 2019 "Notas introductorias a las expectativas racionales" http://www2.econ.iastate.edu/tesfatsi/reintro.pdf

De la página 2: "Además, como se discute más detenidamente en el Apéndice A.6, el conjunto de información condicionante It1 debe ser una colección de afirmaciones que son verdaderas para un subconjunto A (posiblemente vacío) de mundos posibles a los que se puede asignar una probabilidad P(A) objetivamente verdadera."

Answer 3

En McCallum's, " Economía monetaria ", se da a entender que $ I_t $ es un conjunto que contiene toda la información $ \{x_t,x_{t-1},..., y_t,y_{t-1}, ..., u_t, u_{t-1}, ...\} $ , donde $x_t$ es el valor de la variable $x$ para el tiempo $t$ .

Esto significa que un conjunto de información contiene todos los conocido precios variables, hasta el período $t$ y a priori, incluyendo el conocimiento sobre las variables estocásticas ( $u_t$ ) - y, por tanto, las tendencias estocásticas.