Equilibrio de Nash de estrategia mixta en juego de 3x3

Question

¿Cuál es el MSNE para el siguiente juego?

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Creo que puedes eliminar las estrategias $A$ para el jugador 1 y $C$ para el jugador 2, ya que estas serán débilmente dominadas por todas las demás estrategias. Entonces, el juego se convierte en un juego de 2x2 con $B,C$ para $1$ y $A,B$ para $2$.

Sea $q$ y $1-q$ la probabilidad de que 2 juegue $A$ y $B$ respectivamente, y $p$, $1-p$ la probabilidad de que 1 juegue $B$ y $C$. Entonces, en equilibrio $q=1/4$ y $p=1/3$. Luego, el equilibrio es

$$(0,1/3,2/3); (1/4,3/4,0).$$

¿Es esto correcto?

Answer 1

El procedimiento general para resolver un ENE en un juego de 3 por 3 (o más grande) siempre es un poco complicado e implica un poco de prueba y error

• Paso 1: Conjeturar (es decir, adivinar) un subconjunto de estrategias que se utilizarán en equilibrio
• Paso 2: Calcular sus probabilidades usando la condición de indiferencia
• Paso 3: Verificar que el pago de equilibrio no puede mejorarse unilateralmente; es decir, ningún jugador tiene un incentivo estricto para desviarse a otra estrategia

Supongamos que las estrategias que has conjeturado son $\{B,C\}\times\{A,B\}$ (realmente no importa cuál sea la base de tu conjetura; de una forma u otra descubrirás si es correcta). A continuación, calcula las probabilidades utilizando las condiciones de indiferencia de los jugadores. Sea $p=\sigma_1(B)$ y $q=\sigma_2(A)$, tenemos \begin{align} -3p&=-1&&\Rightarrow\quad p=1/3\\ 3q+1-q&=1-q&&\Rightarrow\quad q=0. \end{align} [Esto sugiere que tu cálculo para $q$ fue incorrecto.]

Por último (este es el paso más fácil de olvidar), verifica que nadie tiene un incentivo para desviarse de este equilibrio. En este caso, el pago del jugador 1 es $1$, que ya es el más alto dado que el jugador 2 elige $B$ con probabilidad 1. Él estaría indiferente entre mezclar en otras proporciones sobre $B$ y $C, y su pago es estrictamente menor si juega $A$ con una probabilidad positiva.

El pago esperado del jugador 2 en este equilibrio es $-1$, que también es el más alto dado el jugador 1 estrategia mixta. Ella está indiferente entre mezclar sobre $A$ y $B$ con cualquier otra proporción y está estrictamente peor si $C$ se juega con una probabilidad positiva.

Por lo tanto, un ENE es $((0,1/3,2/3),(0,1,0))$. Esto es solo marginalmente consistente con tu conjetura inicial porque $\sigma_2(A)=0$. Pero sigue siendo un ENE. De hecho, hay infinitos ENE de esta forma: $((0,p,1-p),(0,1,0))$ donde $p\ge1/3. Esta es una descripción completa de todos los equilibrios (incluido el puro) en este juego.