Equilibrio de Nash de estrategia mixta en un juego de 3x3

Question

¿Cuál es el MSNE para el siguiente juego?

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Creo que puedes eliminar las estrategias $A$ para el jugador 1 y $C$ para el jugador $2$, ya que estas serán débilmente dominadas por todas las demás estrategias. Entonces, el juego se convierte en un juego de 2x2 con $B,C$ para el $1$ y $A,B$ para el $2$.

Sea $q$ y $1-q$ la probabilidad de que $2$ juegue $A$ y $B$ respectivamente, y $p$, $1-p$ la probabilidad de que $1$ juegue $B$ y $C$. Entonces, en el equilibrio $q=1/4$ y $p=1/3$. Entonces el equilibrio es

$$(0,1/3,2/3); (1/4,3/4,0).$$

¿Es esto correcto?

Answer 1

El procedimiento general para resolver un MSNE en un juego de 3x3 (o más grande) siempre es un poco complicado e implica algo de ensayo y error

• Paso 1: Conjeturar (es decir, adivinar) un subconjunto de estrategias que se utilizarán en el equilibrio
• Paso 2: Calcular sus probabilidades usando la condición de indiferencia
• Paso 3: Verificar que el pago de equilibrio no se puede mejorar unilateralmente; es decir, ningun jugador tiene un incentivo estricto para desviarse a otra estrategia

Supongamos que las estrategias conjeturadas son $\{B,C\}\times\{A,B\}$ (realmente no importa cuál sea la base de tu conjetura; vas a averiguar de todas formas si es correcta). Luego, calcula las probabilidades usando las condiciones de indiferencia de los jugadores. Sea $p=\sigma_1(B)$ y $q=\sigma_2(A)$, tenemos \begin{align} -3p&=-1&&\Rightarrow\quad p=1/3\\ 3q+1-q&=1-q&&\Rightarrow\quad q=0. \end{align> [Esto sugiere que tu cálculo para $q$ fue incorrecto.]

Por último (este es el paso más fácil de olvidar), verifica que nadie tenga un incentivo para desviarse de este equilibrio. En este caso, el pago del jugador 1 es $1$, que ya es el más alto dado que el jugador 2 elige $B$ con probabilidad 1. Sería indiferente entre mezclar en otras proporciones sobre $B$ y $C, y su pago es estrictamente menor si juega $A$ con probabilidad positiva.

El pago esperado del jugador 2 en este equilibrio es $-1$, que también es el más alto dado la estrategia mixta del jugador 1. Ella es indiferente entre mezclar sobre $A$ y $B$ con cualquier otra proporción y está estrictamente peor si $C$ se juega con probabilidad positiva.

Entonces, un MSNE es $((0,1/3,2/3),(0,1,0))$. Esto es solo marginalmente consistente con tu conjetura inicial porque $\sigma_2(A)=0$. Pero no obstante, es un MSNE. De hecho, hay infinitos MSNE de esta forma: $((0,p,1-p),(0,1,0))$ donde $p\ge1/3. Esta es una descripción completa de todos los equilibrios (incluyendo el puro) en este juego.