Derivación de la producción agregada a partir de la oferta y la demanda de trabajo

Question

Estaba leyendo el siguiente documento:

http://eml.berkeley.edu//~moretti/crecimiento.pdf

Me quedé atascado en la ecuación (7)

La función de producción de la empresa es $Y_{i}=A_{i}L_{i}^{\alpha}K_{i}^{\eta}T_{i}^{1-\alpha-\eta}$

La oferta de trabajo es $W_{i}=V\frac{P_{i}^{\beta}}{Z_{i}}=V\frac{\bar{P_{i}}^{\beta}L_{i}^{\beta \gamma_{i}}}{Z_{i}}$

La demanda de trabajo es $L_{i}=(\frac{\alpha^{1-\eta}\eta^{\eta}}{R^{\eta}}\frac{A_{i}}{W_{i}^{1-\eta}})^{\frac{1}{1-\alpha-\eta}}T_{i}$

El documento dice que si imponemos que la demanda laboral agregada es igual a la oferta laboral agregada (normalizada a uno), entonces la producción agregada $Y=\sum_{i}Y_{i}$ es

$Y=(\frac{\eta}{R})^{\frac{\eta}{1-\eta}}[\sum_{i}(A_{i}[\frac{\bar{Q}}{Q_{i}}]^{1-\eta})^{\frac{1}{1-\alpha-\eta}}T_{i}]^{\frac{1-\alpha-\eta}{1-\eta}}$

Este paso me parece drástico. ¿Cómo se puede derivar la producción agregada de las condiciones anteriores?

Answer 1

Utilice $W_{i}=V \cdot \frac{P_{i}^{\beta}}{Z_{i}}=VQ_i$ entonces $$L_{i}=\left(\frac{\alpha^{1-\eta} \eta^{\eta}}{R^{\eta}} \cdot \frac{A_{i}}{(V_{i} Q_{i})^{1-\eta}}\right)^{\frac{1}{1-\alpha-\eta}} \cdot T_{i}$$ y $$\sum L_i = {\left({\frac{\alpha}{V}}\right)}^{\frac{1-\eta}{1-\alpha-\eta}} {\left({\frac{\eta}{R}}\right)}^{\frac{\eta}{1-\alpha-\eta}} \sum\left(\frac{A_i}{Q_i^{1-\eta}}\right)^{\frac{1}{1-\alpha-\eta}}T_i = 1$$ $$\frac{V}{\alpha} = {\left({\frac{\eta}{R}}\right)}^{\frac{\eta}{1-\eta}} \left(\sum\left(\frac{A_i}{Q_i^{1-\eta}}\right)^{\frac{1}{1-\alpha-\eta}}T_i\right)^{\frac{1-\alpha-\eta}{1-\eta}} $$ .

Utiliza el FOC en la mano de obra, $W_i=\alpha \frac{Y_i}{L_i}$ entonces $$\sum Y_i = \frac{V}{\alpha}\sum L_iQ_i = \frac{V}{\alpha} \bar{Q}$$ y reemplazar $\frac{V}{\alpha}$ con la ecuación anterior se obtiene la ecuación (7).