Cuantil normal y lognormal

Question

Supongamos que tenemos una distribución normal $X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ . En una distribución normal, el cuantil puede calcularse como sigue:

\begin{equation} \Phi_X ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1) \end{equation}

Si queremos calcular el valor en el futuro de una acción lo mapeamos como

\begin{equation} Y=\exp(X) \end{equation} Lo que significa: \begin{equation} \log(Y)\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{equation}

Me gustaría saber que si la función del cuantil puede ser calculada en base directa:

\begin{equation} \Phi_Y ^{-1}(p)=\exp(\mu -\sigma/2+\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)) \end{equation}

La parte de la ecuación $-\sigma/2$ se extrae del cálculo de îto, sin embargo, no puedo encontrar en ninguna parte la corrección de esta ecuación (la deduje). Creo que la función $exp$ es monótona, por lo que debería conservar el valor de los cuantiles, pero no estoy seguro. Una de mis certezas es que $\mu$ cambió a $\mu-\sigma/2$ No tengo ni idea de si eso modifica de alguna manera el cálculo de $\Phi_Y ^{-1}(p)$ o si $\sigma$ también ha cambiado.

Answer 1

Los cuantiles se conservan bajo transformaciones monótonas, por lo que el cuantil para $Y$ es simplemente la exponencial del cuantil de $X$ no es necesario corregir nada (véase aquí por ejemplo).

Dicho de otro modo, que $q$ denotan el cuantil $\alpha$ de $X$ es decir $$\Bbb{P}(X \leq q) = \alpha$$ entonces \begin{align} \Bbb{P}( X \leq q ) &= \Bbb{P}( \underbrace{\exp(X)}_{Y} \leq \underbrace{\exp(q)}_{Q} ) = \alpha \end{align}