Hessiana negativa definida vs semidefinida - ¿Condiciones suficientes vs necesarias?

Question

Cuando una matriz hessiana es negativo definido en un punto crítico, entonces ese punto crítico es un máximo local (condición suficiente).

Según la wiki de cálculo: Enlace cuando el hessiano es semidefinido negativo entonces, sólo podemos concluir que no es un mínimo local. Esto parece sugerir que la semidefinición negativa es una condición necesaria, no suficiente.

¿Puede alguien dar un ejemplo de una función de múltiples variables en la que tengamos un hessiano semidefinido negativo pero no un máximo local? Según mi opinión, si evaluamos el hessiano para que sea semidefinido negativo en el punto crítico también debe ser un máximo local, pero claramente el cálculo wiki no está de acuerdo.

Answer 1

El ejemplo más sencillo es $-x^3$ en el caso de una sola variable, o $-x_1^3-x_2^3$ en el caso de dos variables. La matriz hessiana es semidefinida negativa en $(0,0)$ pero no hay un máximo en este punto.