Diferencia entre los modelos de vol. local y vol. estocástico

Question

Para el propósito de esta pregunta, un modelo de vol local es un SDE 1d que especifica el proceso de precios y tenemos una demanda contingente que depende de esos precios (en general, en múltiples momentos). Por ejemplo $dX_t = \sigma(X_t, t)dW_t$ . Un modelo estocástico de vol es un SDE de al menos 2d donde una de las ecuaciones es para el proceso de precios antes mencionado, pero las ecuaciones adicionales ecuaciones adicionales especifican otras variables de las que el proceso de precios no es independiente por ejemplo $dX_t = X_t Y_t dW^1_t, dY_t = \nu Y_t dW^2_t$ .

¿Está usted de acuerdo en que, en general, dado un modelo de vol estocástico, no hay modelo de vol local equivalente en el siguiente sentido: La densidad conjunta a través de todos los tiempos del proceso de precios $X_t$ en ambos modelos puede ser igual. En otras palabras, dado un conjunto de precios de créditos contingentes sobre $X_t$ (que dependen de múltiples fechas) un modelo de vol estocástico determina, no hay modelo de vol local que dé el mismo conjunto de precios. Si es así, ¿puede indicarme en la dirección de una prueba de esto? Si no hay ninguna prueba disponible, un buen contraejemplo será suficiente. Un modelo de vol local y vol estocástico que dan el mismo precio de opciones vainilla, pero tienen al menos una densidad conjunta diferente. densidad.

Answer 1

El modelo de vol local tiene exactamente la libertad suficiente para hacer coincidir las densidades individuales $X_t.$ No hay libertad adicional en el modelo de vol local para igualar incluso una densidad conjunta para un par de tiempos $(X_t,X_s).$

Cuando se pregunta por la densidad conjunta a través del continuo de tiempos $t \in [0,T]$ es bastante fácil demostrar que cualquier modelo de vol local difiere de cualquier modelo de vol estocástico siempre que el modelo de volatilidad estocástico tenga un vol de vol no zeeo. Esto se debe a que la densidad conjunta a lo largo del continuo de tiempos da información completa sobre la medida en los caminos $X_t$ .

Para un modelo de vol local, la varianza instantánea de una trayectoria $X_t$ en el momento $t$ es casi seguro que $\sigma^2(X_t,t).$ Para un modelo de volatilidad estocástica con vol de vol no trivial esto no es cierto para $t>0$ la varianza instantánea en el momento $t$ condicionado a $X_t$ es una variable aleatoria con media $\sigma^2(X_t,t)$ pero la varianza positiva.