Así que he investigado un poco sobre esto y parece que es un resultado de la Función de utilidad Stone-Geary . No estoy 100% seguro de esto pero estoy bastante seguro ** .
Recordemos que la función de utilidad de la piedra se define de la siguiente manera $$U(x_1,...,x_n)=\prod_{i=1}^n(x_i-\gamma_i)^{\beta_i}$$
Obsérvese que las demandas marshallianas para las preferencias de las piedras se definen como: $$x^*_i=\gamma_i+\frac{\beta_i}{p_i}\left(m-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j\right) \forall\ \ i\neq j$$
Subrayando este resultado en nuestra función de utilidad para obtener nuestra función de utilidad indirecta obtenemos $$V(x^*_1,...,x^*_n)=\prod_{i=1}^n(x^*_i-\gamma_i)^{\beta_i}$$ $$V(p_1,...,p_n,m)=\prod_{i=1}^n\left(\gamma_i+\frac{\beta_i}{p_i}\left(m-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j\right)-\gamma_i\right)^{\beta_i}$$ $$V(p_1,...,p_n,m)=\prod_{i=1}^n\left(\frac{\beta_i}{p_i}\left(m-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j\right)\right)^{\beta_i}$$
Multiplicando ambos lados por $\prod_{i=1}^np_i^{\beta_i}$ y $\prod_{i=1}^n\frac{1}{\beta_i^{\beta_i}}$ nos encontramos con que:
$$\prod_{i=1}^n\frac{1}{\beta_i^{\beta_i}}\prod_{i=1}^np_i^{\beta_i}V=\prod_{i=1}^n(m-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j)^{\beta_i}$$
recordando que en toda la literatura $\beta_0$ se ha definido como un "parámetro no cuantificable" let: $\prod_{i=1}^n\frac{1}{\beta_i^{\beta_i}}=\beta_0$ y teniendo $V(p_1,...,p_n,m)$ fijada en algún nivel de utilidad $u$ por lo tanto, tenemos:
Por lo tanto: $$\beta_0\prod_{i=1}^n p_i^{\beta_i}u=\prod_{i=1}^n(m-\sum_{j=1}^np_j\gamma_j)^{\beta_i}$$
Obsérvese que esto es muy similar a $b(p)$ según la definición de varian * . por lo que representaría una función que es esencialmente preferencias cobb-douglas centradas en los niveles de renta por encima de la subsistencia (piedra-guarnición) en términos de dinero (no bienes).
Esto demuestra cómo el gasto se configura por preferencias cuando nuestro consumidor ya no intenta ganarse la vida a duras penas.
Si tomáramos una aproximación de taylor de segundo orden de la RHS alrededor de $p_j$ (tenga en cuenta que cubrimos todos nuestros precios en nuestro sistema) obtenemos:
$$\beta_0\prod_{i=1}^n p_i^{\beta_i}u=\log(m)-a_0-\sum_ia_i\log p_i-\frac{1}{2}\sum_i\sum_j\delta^*_{ij}\log p_i\log p_j$$
Que es a su vez: $$\beta_0\prod_{i=1}^n p_i^{\beta_i}u=\log\left(\frac{m}{P}\right)$$
donde $$\log(P)=a_0+\sum_ia_i\log p_i+\frac{1}{2}\sum_i\sum_j\delta^*_{ij}\log p_i\log p_j$$
La razón por la que se utiliza el término LHS en lugar del término RHS es debido a la construcción del sistema de SIDA como una función de gasto que requiere que la utilidad sea parte de ella por definición.
TL;DR Esto fue un intento de entender por qué usamos un parámetro que terminamos subiendo del Sistema de Demanda Casi Ideal.
*Uno puede preguntarse, que esto no es del todo cierto ya que Deaton y Muellbauer (1980) definen <span class="math-container">$\log{b(p)}=log{a(p)}+\beta0\prod{i=1}^n p_i^{\beta_i}$</span> Sin embargo, dado que esto desaparece como resultado de las definiciones utilizadas en la estructura del sistema PIGLOG, creo que está bien.
** véase el documento de Castellón, Boonsaeng y Carpio papel <a href="https://www.researchgate.net/profile/Carlos_Carpio2/publication/241750470_Demand_System_Estimation_in_the_Absence_of_Price_Data_an_Application_of_Stone-Lewbel_Price_Indices/links/0c960532c6a65a32dc000000/Demand-System-Estimation-in-the-Absence-of-Price-Data-an-Application-of-Stone-Lewbel-Price-Indices.pdf" rel="nofollow noreferrer">Estimación del sistema de demanda en ausencia de datos de precios: una aplicación de Índices de precios Stone-Lewbel </a>página 6
